Calcule a primitiva integral d zz(z-1)^2.

Passo 1

Nesse exercício a gente quer encontrar a antiderivada da função f(z)=1z(z-1)^2. O conteúdo principal aqui é integração de frações racionais usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Como o grau do numerador (0) é menor que o do denominador (3), podemos escrever:
1z(z-1)^2= A z+ Bz-1+ C(z-1)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por z(z-1)^2), obtemos:
1=A,(z-1)^2+B,z(z-1)+C,z

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando os termos em potências de z), fica:
1=(A+B)z^2+(-2A-B+C)z+A

Passo 5

Para essa identidade valer para todo z), igualamos coeficientes:
A+B=0, -2A-B+C=0, A=1

Passo 6

Da terceira equação vem A=1. Substituindo em A+B=0 B=-1. E em -2A-B+C=0 temos -2cdot1-(-1)+C=0, logo C=1.
Portanto a decomposição é
1z(z-1)^2=1z-1z-1+1(z-1)^2

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integral1z, dz=ln|z|,
integrall(-1z-1r), dz=-ln|z-1|,
integral1(z-1)^2, dz=-1z-1

Passo 8

Somando tudo, chegamos à primitiva desejada.

Resposta

ln|z|-ln|z-1|-1z-1+C

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