Classifique todos os pontos críticos da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar todos os pontos críticos da função $ f(x, y) = -\frac{128}{9} x^{3} - y^{3} + \frac{32}{3} x^{2} y + 12 y $. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde a gente vai precisar calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada pra classificar os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos achar onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Isso significa calcular $ f_x $ e $ f_y $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $:
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Da equação (1), podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades: $ x = 0 $ ou $ y = 2x $.
Passo 5
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na equação (2):
Então, temos dois pontos críticos: $ (0, 2) $ e $ (0, -2) $.
Caso 2: $ y = 2x $
Substituindo $ y = 2x $ na equação (2):
Multiplicando tudo por 3 para eliminar denominadores:
Logo, $ y = 2x $ dá $ y = 6 $ quando $ x = 3 $ e $ y = -6 $ quando $ x = -3 $. Então, temos mais dois pontos críticos: $ (3, 6) $ e $ (-3, -6) $.
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos das segundas derivadas:
O discriminante $ D $ é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
Passo 7
Para $ (0, 2) $:
Como $ D < 0 $, $ (0, 2) $ é um ponto de sela.
Para $ (0, -2) $:
Também temos $ D < 0 $, então $ (0, -2) $ é um ponto de sela.
Para $ (3, 6) $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, $ (3, 6) $ é um ponto de máximo relativo.
Para $ (-3, -6) $:
Aqui, $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, então $ (-3, -6) $ é um ponto de mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- $ (0, 2) $: ponto de sela.
- $ (0, -2) $: ponto de sela.
- $ (3, 6) $: ponto de máximo relativo.
- $ (-3, -6) $: ponto de mínimo relativo.