Classifique todos os pontos críticos da função
f(x, y)=-1289 x^3-y^3+323 x^2 y+12 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar todos os pontos críticos da função $ f(x, y) = -\frac{128}{9} x^{3} - y^{3} + \frac{32}{3} x^{2} y + 12 y $. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde a gente vai precisar calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada pra classificar os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos achar onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Isso significa calcular $ f_x $ e $ f_y $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $:
x
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
fx = partial fpartial x = -1289 cdot 3x^2 + 323 cdot 2x y = -1283 x^2 + 643 x y

Passo 4

Vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
-1283 x^2 + 643 x y = 0 (1)
-3y^2 + 323 x^2 + 12 = 0 (2)
Da equação (1), podemos fatorar:
-1283 x^2 + 643 x y = 0 implies 643 x (-2x + y) = 0
Isso nos dá duas possibilidades: $ x = 0 $ ou $ y = 2x $.

Passo 5

Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na equação (2):
x = 0
Então, temos dois pontos críticos: $ (0, 2) $ e $ (0, -2) $.
Caso 2: $ y = 2x $
Substituindo $ y = 2x $ na equação (2):
x = 0
Multiplicando tudo por 3 para eliminar denominadores:
-3y^2 + 0 + 12 = 0 implies -3y^2 + 12 = 0 implies y^2 = 4 implies y = pm 2
Logo, $ y = 2x $ dá $ y = 6 $ quando $ x = 3 $ e $ y = -6 $ quando $ x = -3 $. Então, temos mais dois pontos críticos: $ (3, 6) $ e $ (-3, -6) $.

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos das segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -2563 x + 643 y
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 643 x
O discriminante $ D $ é dado por:
D
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.

Passo 7

Para $ (0, 2) $:
(0, 2)
fxx = -2563 cdot 0 + 643 cdot 2 = 1283
fyy = -6 cdot 2 = -12
fxy = 643 cdot 0 = 0
Como $ D < 0 $, $ (0, 2) $ é um ponto de sela.
Para $ (0, -2) $:
D = 1283 cdot (-12) - 0 = -512
D < 0
(0, 2)
(0, -2)
Também temos $ D < 0 $, então $ (0, -2) $ é um ponto de sela.
Para $ (3, 6) $:
fxx = -2563 cdot 0 + 643 cdot (-2) = -1283
fyy = -6 cdot (-2) = 12
fxy = 643 cdot 0 = 0
D = -1283 cdot 12 - 0 = -512
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, $ (3, 6) $ é um ponto de máximo relativo.
Para $ (-3, -6) $:
D < 0
(0, -2)
(3, 6)
fxx = -2563 cdot 3 + 643 cdot 6 = -256 + 128 = -128
Aqui, $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, então $ (-3, -6) $ é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • $ (0, 2) $: ponto de sela.
  • $ (0, -2) $: ponto de sela.
  • $ (3, 6) $: ponto de máximo relativo.
  • $ (-3, -6) $: ponto de mínimo relativo.

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