Calcule os limites abaixo:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\ldots+\frac{n}{n^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\ldots+\frac{n}{n^{2}}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A soma tem n termos, sendo o k-ésimo termo igual a \dfrac{k}{n^{2}} para k=1,2,\dots,n.
  • Queremos o valor dessa soma quando n cresce indefinidamente ( n\to\infty).
  • Não há outras incógnitas nem parâmetros além de n.

Passo 2

Escolha do método: vou usar primeiro uma simplificação algébrica direta usando a fórmula da soma dos primeiros n inteiros, porque é o caminho mais direto e elementar. Depois eu mostro uma interpretação alternativa (soma de Riemann) que ajuda a entender geometricamente o resultado — isso é útil para a prova e para “pegar o raciocínio” caso apareça algo parecido.
Primeiro, lembro (e explico) a fórmula para a soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}.
Uma maneira simples de ver isso (truque de Gauss): escreva a soma em ordem direta e em ordem inversa e some termo a termo:
(1+2+\cdots+n) + (n+(n-1)+\cdots+1) = (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1),
ou seja, 2\sum_{k=1}^n k = n(n+1), daí \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}. Isso é uma fórmula básica que dá o total da soma dos primeiros n naturais.

Passo 3

Agora aplico essa fórmula à soma do enunciado. Escrevo a soma original como um fator comum fora:
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}k.
Usando \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2} obtemos
\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2}.

Passo 4

Faço as simplificações algébricas passo a passo:
\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2n^{2}}=\frac{n+1}{2n}.
Divido numerador e denominador por n para ver a forma que facilita o limite:
\frac{n+1}{2n}=\frac{n}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}.

Passo 5

Calculo o limite a partir da expressão simplificada. Como \dfrac{1}{2n}\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}.
Comentário didático: a razão pela qual \dfrac{1}{2n}\to 0 é que o denominador cresce sem limite e números da forma \dfrac{1}{n} tendem a zero.

Passo 6

Interpretação alternativa (útil para entender provas): escrevendo cada termo como \dfrac{k}{n^{2}}=\left(\dfrac{k}{n}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{n}\right), temos
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right).
Isso é exatamente uma soma de Riemann para a função f(x)=x no intervalo [0,1], usando a partição em n subintervalos e os pontos à direita x_k=\dfrac{k}{n}. O limite dessa soma de Riemann quando n\to\infty é a integral
\int_{0}^{1} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2},
confirmando o resultado anterior. Essa visão mostra que somas como essa costumam convergir para integrais quando os termos são da forma f(k/n)\cdot(1/n).

Resposta

\dfrac{1}{2}

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