A soma tem n termos, sendo o k-ésimo termo igual a \dfrac{k}{n^{2}} para k=1,2,\dots,n.
Queremos o valor dessa soma quando n cresce indefinidamente (n\to\infty).
Não há outras incógnitas nem parâmetros além de n.
Passo 2
Escolha do método: vou usar primeiro uma simplificação algébrica direta usando a fórmula da soma dos primeiros n inteiros, porque é o caminho mais direto e elementar. Depois eu mostro uma interpretação alternativa (soma de Riemann) que ajuda a entender geometricamente o resultado — isso é útil para a prova e para “pegar o raciocínio” caso apareça algo parecido.
Primeiro, lembro (e explico) a fórmula para a soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}.
Uma maneira simples de ver isso (truque de Gauss): escreva a soma em ordem direta e em ordem inversa e some termo a termo:
Comentário didático: a razão pela qual \dfrac{1}{2n}\to 0 é que o denominador cresce sem limite e números da forma \dfrac{1}{n} tendem a zero.
Passo 6
Interpretação alternativa (útil para entender provas): escrevendo cada termo como \dfrac{k}{n^{2}}=\left(\dfrac{k}{n}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{n}\right), temos
Isso é exatamente uma soma de Riemann para a função f(x)=x no intervalo [0,1], usando a partição em n subintervalos e os pontos à direita x_k=\dfrac{k}{n}. O limite dessa soma de Riemann quando n\to\infty é a integral
confirmando o resultado anterior. Essa visão mostra que somas como essa costumam convergir para integrais quando os termos são da forma f(k/n)\cdot(1/n).