Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede: determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (e que vou usar):
- A função tem uma raiz quadrática dentro da raiz:
. - A presença de
como denominador impõe restrições de domínio (não podemos dividir por zero e o argumento da raiz deve ser não negativo; aqui denominador não pode ser zero). - Pontos onde o denominador fica zero (ou o argumento da raiz muda de sinal) são candidatos a assíntotas verticais.
- Comportamento quando
e pode dar assíntotas horizontais.
Passo 2
Determinar o domínio (passo necessário para identificar onde podem ocorrer assíntotas verticais).
- Primeiro fatoro a expressão dentro da raiz. Calculamos as raízes da quadrática
. Assim as raízes são e . Logo - Como a função tem
no denominador, precisamos de (se for zero o denominador é zero e a função não está definida; se for negativo a raiz não é real). - Para resolver
uso o fato de que a parábola abre para cima (coeficiente de é positivo). Assim a expressão é positiva fora das raízes: - Conclusão do domínio que vou usar nas análises: a função está definida somente para
e para . Portanto e são pontos de interesse para assíntotas verticais (se a função divergir quando nos aproximamos por pontos do domínio).
Passo 3
O que é uma assíntota vertical, e como testar aqui.
- Definição prática: uma reta vertical
é assíntota vertical se a função diverge para ou ao nos aproximarmos de por valores de em que a função está definida. - Como o domínio exclui o intervalo
, só podemos nos aproximar de pela direita ( ) e de pela esquerda ( ). Vou analisar os limites laterais que existem.
Análise em
:
- Para
temos então é positivo e o argumento da raiz é pequeno e positivo, logo . - Numerador
é positivo (aproxima-se de ). - Assim a fração tende a
- Portanto
, o que confirma que é uma assíntota vertical (pela direita, que é o único lado do domínio).
Análise em
:
- Para
temos , o argumento da raiz é pequeno e positivo quando se aproxima de pela esquerda, então . - Numerador
tende para (valor negativo). - Assim a fração tende a
- Portanto
, então é assíntota vertical (pela esquerda, único lado do domínio).
Passo 4
O que é uma assíntota horizontal, e como testar aqui.
- Definição prática: uma reta horizontal
é assíntota horizontal se ou . Note que podem existir assíntotas diferentes para e .
Cálculo de
:
- Para
podemos manipular a expressão para evidenciar o comportamento. - Faço fatoração por
dentro da raiz: para temos , e - Então, para
, - Como
, pela continuidade da raiz temos - Conclusão: há uma assíntota horizontal
quando .
Cálculo de
:
- Para
temos e . Então - Assim
- Tomando limite
temos novamente o termo dentro da raiz tendendo a , logo - Conclusão: há uma assíntota horizontal
quando .
Passo 5
Resumo das conclusões e observações finais (para você lembrar na prova):
- O domínio separado em dois ramos faz com que as assíntotas verticais ocorram em
e (nesses pontos o denominador vai a zero e a função diverge). - Para extremos infinitos temos duas assíntotas horizontais distintas:
para e para . - Não há necessidade de procurar assíntota oblíqua porque os limites em
deram constantes (logo horizontais).
Resposta
Assíntotas verticais:
e
Assíntotas horizontais: (quando
) e
(quando
)
Assíntotas horizontais: