Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
(h) f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x-12}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x-12}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (e que vou usar):
  • A função tem uma raiz quadrática dentro da raiz: x^{2}+x-12.
  • A presença de \sqrt{\;\cdot\;} como denominador impõe restrições de domínio (não podemos dividir por zero e o argumento da raiz deve ser não negativo; aqui denominador não pode ser zero).
  • Pontos onde o denominador fica zero (ou o argumento da raiz muda de sinal) são candidatos a assíntotas verticais.
  • Comportamento quando x\to+\infty e x\to-\infty pode dar assíntotas horizontais.

Passo 2

Determinar o domínio (passo necessário para identificar onde podem ocorrer assíntotas verticais).
  • Primeiro fatoro a expressão dentro da raiz. Calculamos as raízes da quadrática x^{2}+x-12. x^{2}+x-12 = 0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\frac{-1\pm7}{2}.Assim as raízes são x=3 e x=-4. Logo x^{2}+x-12=(x-3)(x+4).
  • Como a função tem \sqrt{x^{2}+x-12} no denominador, precisamos de x^{2}+x-12>0 (se for zero o denominador é zero e a função não está definida; se for negativo a raiz não é real).
  • Para resolver x^{2}+x-12>0 uso o fato de que a parábola abre para cima (coeficiente de x^2 é positivo). Assim a expressão é positiva fora das raízes: x\in(-\infty,-4)\cup(3,\infty).
  • Conclusão do domínio que vou usar nas análises: a função está definida somente para x<-4 e para x>3. Portanto x=-4 e x=3 são pontos de interesse para assíntotas verticais (se a função divergir quando nos aproximamos por pontos do domínio).

Passo 3

O que é uma assíntota vertical, e como testar aqui.
  • Definição prática: uma reta vertical x=a é assíntota vertical se a função diverge para +\infty ou -\infty ao nos aproximarmos de a por valores de x em que a função está definida.
  • Como o domínio exclui o intervalo [-4,3], só podemos nos aproximar de x=3 pela direita ( x\to3^+) e de x=-4 pela esquerda ( x\to-4^-). Vou analisar os limites laterais que existem.
Análise em x=3:
  • Para x\to3^+ temos x>3 então x é positivo e o argumento da raiz x^{2}+x-12 é pequeno e positivo, logo \sqrt{x^{2}+x-12}\to0^+.
  • Numerador x\to3^+ é positivo (aproxima-se de 3).
  • Assim a fração tende a \frac{\text{positivo}}{\text{positivo muito pequeno}} \to +\infty.
  • Portanto \displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty, o que confirma que x=3 é uma assíntota vertical (pela direita, que é o único lado do domínio).
Análise em x=-4:
  • Para x\to-4^- temos x<-4, o argumento da raiz x^{2}+x-12 é pequeno e positivo quando x se aproxima de -4 pela esquerda, então \sqrt{x^{2}+x-12}\to0^+.
  • Numerador x\to-4^- tende para -4 (valor negativo).
  • Assim a fração tende a \frac{\text{negativo}}{\text{positivo muito pequeno}} \to -\infty.
  • Portanto \displaystyle\lim_{x\to-4^-}f(x)=-\infty, então x=-4 é assíntota vertical (pela esquerda, único lado do domínio).

Passo 4

O que é uma assíntota horizontal, e como testar aqui.
  • Definição prática: uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to+\infty}f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty}f(x)=L. Note que podem existir assíntotas diferentes para +\infty e -\infty.
Cálculo de \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x):
  • Para x\to+\infty podemos manipular a expressão para evidenciar o comportamento.
  • Faço fatoração por x dentro da raiz: para x>0 temos |x|=x, e \sqrt{x^{2}+x-12} = x\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}.
  • Então, para x\to+\infty, f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x-12}}=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}}.
  • Como \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}\right)=1, pela continuidade da raiz temos \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1.
  • Conclusão: há uma assíntota horizontal y=1 quando x\to+\infty.
Cálculo de \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x):
  • Para x\to-\infty temos x<0 e |x|=-x. Então \sqrt{x^{2}+x-12}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}} = -x\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}.
  • Assim f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x-12}}=\frac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}}.
  • Tomando limite x\to-\infty temos novamente o termo dentro da raiz tendendo a 1, logo \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\frac{1}{\sqrt{1}}=-1.
  • Conclusão: há uma assíntota horizontal y=-1 quando x\to-\infty.

Passo 5

Resumo das conclusões e observações finais (para você lembrar na prova):
  • O domínio separado em dois ramos faz com que as assíntotas verticais ocorram em x=-4 e x=3 (nesses pontos o denominador vai a zero e a função diverge).
  • Para extremos infinitos temos duas assíntotas horizontais distintas: y=1 para x\to+\infty e y=-1 para x\to-\infty.
  • Não há necessidade de procurar assíntota oblíqua porque os limites em \pm\infty deram constantes (logo horizontais).

Resposta

Assíntotas verticais: x=-4 e x=3
Assíntotas horizontais: y=-1 (quando x\to-\infty) e y=1 (quando x\to+\infty)

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