Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow-\frac{1}{2}} \frac{x^{2}+\frac{15}{2} x+\frac{7}{2}}{x^{2}-\frac{3}{2} x-\frac{9}{10}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\tfrac12} \frac{x^{2}+\tfrac{15}{2}x+\tfrac{7}{2}}{x^{2}-\tfrac{3}{2}x-\tfrac{9}{10}}.
O conteúdo é limite de função racional. Como ambas as expressões são polinômios em x no numerador e denominador, podemos tentar a substituição direta, contanto que a substituição não gere 0/0.

Passo 2

Calculamos o valor do numerador em x=-\tfrac12:
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{2} + \tfrac{15}{2}\Bigl(-\tfrac12\Bigr) + \tfrac{7}{2} = \tfrac14 - \tfrac{15}{4} + \tfrac{14}{4} = 0.

Passo 3

Calculamos o valor do denominador em x=-\tfrac12:
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{2} - \tfrac{3}{2}\Bigl(-\tfrac12\Bigr) - \tfrac{9}{10} = \tfrac14 + \tfrac34 - \tfrac{9}{10} = 1 - \tfrac{9}{10} = \tfrac{1}{10}\neq 0.

Passo 4

Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a \tfrac{1}{10}\neq 0, o limite é
\lim_{x\to -\tfrac12} \frac{\text{numerador}}{\text{denominador}} = \frac{0}{\tfrac{1}{10}} = 0.

Resposta

0

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