Exercício 3: Calcule a integral dupla.
\iint_{R} \frac{1}{1+x+y} d A, \quad R=[0,3] \times[1,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{1}{1+x+y}\,dA,
onde R = [0,3]\times[1,2]. O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para trocar a integral dupla por iterada, e depois cálculo de integrais de função racional por substituição e uso da primitiva de \ln.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
\iint_{R} \frac{1}{1+x+y}\,dA =\int_{y=1}^{2}\!\!\int_{x=0}^{3}\frac{1}{1+x+y}\,dx\,dy.

Passo 3

Para a integral interna em x, fazemos a substituição u=1+y+x, de modo que du=dx e, quando x=0, u=1+y; quando x=3, u=4+y. Então
\int_{x=0}^{3}\frac{1}{1+x+y}\,dx =\int_{u=1+y}^{4+y}\frac{1}{u}\,du =\bigl[\ln u\bigr]_{1+y}^{4+y} =\ln(4+y)-\ln(1+y).

Passo 4

Fica assim a integral em y:
\int_{y=1}^{2}\bigl[\ln(4+y)-\ln(1+y)\bigr]\,dy =\int_{1}^{2}\ln(4+y)\,dy-\int_{1}^{2}\ln(1+y)\,dy.

Passo 5

Usamos a primitiva \displaystyle\int\ln t\,dt = t\ln t - t.
Para a primeira parte, com t=4+y:
\int_{1}^{2}\ln(4+y)\,dy =\bigl[(4+y)\ln(4+y)-(4+y)\bigr]_{1}^{2} =(6\ln6-6)-(5\ln5-5) =6\ln6-5\ln5-1.
Para a segunda, com t=1+y:
\int_{1}^{2}\ln(1+y)\,dy =\bigl[(1+y)\ln(1+y)-(1+y)\bigr]_{1}^{2} =(3\ln3-3)-(2\ln2-2) =3\ln3-2\ln2-1.

Passo 6

Subtraindo as duas partes e simplificando os logaritmos, obtemos
(6\ln6-5\ln5-1)\;-\;(3\ln3-2\ln2-1) =6\ln6-3\ln3+2\ln2-5\ln5 =8\ln2+3\ln3-5\ln5.

Resposta

8\ln2+3\ln3-5\ln5.

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