Exercício 3: Calcule a integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
. O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para trocar a integral dupla por iterada, e depois cálculo de integrais de função racional por substituição e uso da primitiva de
.
Passo 2
Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
Passo 3
Para a integral interna em
, fazemos a substituição
, de modo que
e, quando
,
; quando
,
. Então
Passo 4
Fica assim a integral em
:
Passo 5
Usamos a primitiva
.
Para a primeira parte, com :
Para a primeira parte, com
Para a segunda, com
:
Passo 6
Subtraindo as duas partes e simplificando os logaritmos, obtemos