Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\operatorname{sen}(x-2)}{\left(x^{2}-4\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to2}\frac{\sin(x-2)}{x^2-4}.
O conteúdo é cálculo de limite de função que se beneficia do limite fundamental
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1
e de fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e fazemos a troca de variável
x^2-4=(x-2)(x+2),
de modo que, definindo
h = x-2,
temos h\to0 quando x\to2, e ainda
x+2 = h+4.

Passo 3

Reescrevemos o quociente em função de h:
\frac{\sin(x-2)}{x^2-4} = \frac{\sin h}{h\,(h+4)} = \frac{\sin h}{h}\;\cdot\;\frac{1}{h+4}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando h\to0. Sabemos que \sin h/h\to1 e, por continuidade da função 1/(h+4), temos 1/(h+4)\to1/4. Logo,
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}\;\cdot\;\frac{1}{h+4} = 1\;\cdot\;\frac{1}{4} = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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