Obtenha, se houver, as assíntotas horizonatais e verticais das funções abaixo. f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}
Passo 1
O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
O conteúdo envolve análise de domínio, limites em pontos críticos (para verificar assíntotas verticais) e limites no infinito (para assíntotas horizontais).
Passo 2
Determinar o domínio de f. Como aparece \sqrt{x^{2}-1}, precisamos de
x^{2}-1\ge0,
isto é, \lvert x\rvert\ge1. Logo o domínio é
D = (-\infty,-1]\cup[1,\infty).
Passo 3
Buscar possíveis assíntotas verticais nos pontos em que a função não está definida, aqui x=1 e x=-1. Precisamos ver se
\lim_{x\to1^+}f(x),\quad \lim_{x\to-1^-}f(x)
são infinitos.
Passo 4
Calcular \lim_{x\to1^+}f(x). Para x=1+\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno,