Obtenha, se houver, as assíntotas horizonatais e verticais das funções abaixo.
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
O conteúdo envolve análise de domínio, limites em pontos críticos (para verificar assíntotas verticais) e limites no infinito (para assíntotas horizontais).

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como aparece \sqrt{x^{2}-1}, precisamos de
x^{2}-1\ge0,
isto é, \lvert x\rvert\ge1. Logo o domínio é
D = (-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Passo 3

Buscar possíveis assíntotas verticais nos pontos em que a função não está definida, aqui x=1 e x=-1. Precisamos ver se
\lim_{x\to1^+}f(x),\quad \lim_{x\to-1^-}f(x)
são infinitos.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to1^+}f(x). Para x=1+\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno,
\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{(1+\varepsilon)^{2}-1}=\sqrt{2\varepsilon+\varepsilon^{2}}\approx\sqrt{2\varepsilon},
então
f(x)\approx\frac{\sqrt{2\varepsilon}}{1+\varepsilon}\;\longrightarrow\;0 \quad(\varepsilon\to0^+).
Portanto \lim_{x\to1^+}f(x)=0, valor finito.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to-1^-}f(x). Para x=-1-\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno,
\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{(-1-\varepsilon)^{2}-1}=\sqrt{2\varepsilon+\varepsilon^{2}}\approx\sqrt{2\varepsilon},
e como x\approx -1 temos
f(x)\approx\frac{\sqrt{2\varepsilon}}{-1-\varepsilon}\;\longrightarrow\;0^{-}.
Logo \lim_{x\to-1^-}f(x)=0, também finito. Concluímos que não há assíntotas verticais.

Passo 6

Agora as assíntotas horizontais, examinando os limites em \pm\infty.

Passo 7

Calcular \lim_{x\to+\infty}f(x). Para x>0,
\sqrt{x^{2}-1}=x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}},
logo
\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} =\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\; 1.
Isso dá a assíntota horizontal y=1 quando x\to+\infty.

Passo 8

Calcular \lim_{x\to-\infty}f(x). Para x<0,
\sqrt{x^{2}-1}=(-x)\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}},
então
\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} =-\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}} \;\xrightarrow[x\to-\infty]{}\; -1.
Isso fornece a assíntota horizontal y=-1 quando x\to-\infty.

Resposta

Não há assíntotas verticais.
As assíntotas horizontais são
y=1 para x\to+\infty
e
y=-1 para x\to-\infty.

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