Obtenha, se houver, as assíntotas horizonatais e verticais das funções abaixo.
f(x)=\frac{2 x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função racional
f(x)=\frac{2x}{x-1}.
Para isso usaremos limites:
  • Assíntota vertical onde o denominador se anula e o limite é infinito.
  • Assíntota horizontal pelos limites em x\to\pm\infty.

Passo 2

Determinar a assíntota vertical resolvendo x-1=0, ou seja, x=1.
Como o numerador em x=1 vale 2\cdot1=2\neq0, temos divergência:
\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty,
logo há assíntota vertical em x=1.

Passo 3

Determinar a assíntota horizontal pelos limites em x\to\infty e x\to-\infty.
Como grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x}{x-1} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{1-\tfrac1x} =2.
Portanto há assíntota horizontal em y=2.

Resposta

Assíntota vertical: x=1.
Assíntota horizontal: y=2.

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