Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x^{2}-6 x+8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x^2-6x+8}. Ao substituir diretamente x=2 vemos que o numerador fica 2^2-4=0 e o denominador fica 2^2-6\cdot2+8=0, configurando uma indeterminação do tipo 0/0. Então vamos usar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^2 - 4 = (x-2)(x+2),
x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4).

Passo 3

Cancelamos o fator comum (x-2) (válido para x\neq2) e obtemos a forma simplificada:
\frac{x^2-4}{x^2-6x+8} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-4)} = \frac{x+2}{x-4}.

Passo 4

Com a expressão simplificada, fazemos substituição direta em x=2:
\lim_{x\to2}\frac{x+2}{x-4} = \frac{2+2}{2-4} = \frac{4}{-2} = -2.

Resposta

-2

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