Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}.
Isso é um limite com forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então vamos usar racionalização do numerador para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma direta: ao substituir x=8 temos
\sqrt{8+1}-3=3-3=0 \quad\text{e}\quad 8-8=0,
logo a expressão é \tfrac{0}{0}, indeterminada.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+1}+3:
\frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+3}{\sqrt{x+1}+3} = \frac{(\sqrt{x+1})^2-3^2}{(x-8)\bigl(\sqrt{x+1}+3\bigr)} = \frac{x+1-9}{(x-8)\bigl(\sqrt{x+1}+3\bigr)}.

Passo 4

Simplificamos o numerador x+1-9 = x-8 e cancelamos o fator x-8:
\frac{x-8}{(x-8)\bigl(\sqrt{x+1}+3\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{x+1}+3}.
Agora basta pegar o limite x\to8:

Passo 5

Substituindo x=8 em \tfrac{1}{\sqrt{x+1}+3}
\frac{1}{\sqrt{9}+3} =\frac{1}{3+3} =\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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