Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2,77 x^{20}+3 x^{27}+12 x^{17}-x-2}{2 x^{20}-4 x^{13}+21 x^{10}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2,77x^{20}+3x^{27}+12x^{17}-x-2}{2x^{20}-4x^{13}+21x^{10}+1}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \;2,77x^{20}+3x^{27}+12x^{17}-x-2.
  • O denominador é o polinômio \;2x^{20}-4x^{13}+21x^{10}+1.
  • A variável x tende para +\infty.
    A pergunta é: qual é o valor (ou comportamento) do quociente quando x cresce sem limite?

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática e concreta). Quando x tende a +\infty, os termos de maior potência de x nas expressões polinomiais dominam o comportamento dessas expressões: termos com potências menores ficam desprezíveis em comparação com os de potência maior. Uma maneira prática e rigorosa de ver isso é fatorar uma potência comum de x dos polinômios e analisar os termos restantes, observando que termos com potências negativas tendem a zero quando x\rightarrow+\infty.

Passo 3

Fatoramos x^{20} (a menor das potências mais altas presentes) do numerador e do denominador para cancelar esse fator e facilitar a análise:
\frac{2,77x^{20}+3x^{27}+12x^{17}-x-2}{2x^{20}-4x^{13}+21x^{10}+1} = \frac{x^{20}\bigl(2,77+3x^{7}+12x^{-3}-x^{-19}-2x^{-20}\bigr)}{x^{20}\bigl(2-4x^{-7}+21x^{-10}+x^{-20}\bigr)}.

Passo 4

Cancelando x^{20} (válido para x\neq0, e aqui estamos analisando x\rightarrow+\infty) obtemos
\frac{2,77+3x^{7}+12x^{-3}-x^{-19}-2x^{-20}}{2-4x^{-7}+21x^{-10}+x^{-20}}.
Agora analisamos o comportamento de cada termo quando x\rightarrow+\infty:
  • Termos como x^{-3},x^{-7},x^{-10},x^{-19},x^{-20} tendem a 0.
  • O termo dominante no numerador é 3x^{7}, porque cresce sem limite quando x\rightarrow+\infty.
  • O denominador tende para a constante 2, já que todos os termos com potências negativas vão para 0.

Passo 5

Com isso, para x grande o quociente se comporta como
\frac{3x^{7}+\text{(termos que tendem a }0)}{2+\text{(termos que tendem a }0)}.
Como \;3x^{7}\rightarrow+\infty e o denominador tende para 2>0, o quociente tende para +\infty. Em palavras: o numerador cresce como uma constante vezes x^{27} (ou, após cancelamento, como 3x^{7}), muito mais rápido que o denominador que fica aproximado por uma constante, portanto a razão diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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