Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A variável
tende para .
A pergunta é: qual é o valor (ou comportamento) do quociente quandocresce sem limite?
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática e concreta). Quando
tende a
, os termos de maior potência de
nas expressões polinomiais dominam o comportamento dessas expressões: termos com potências menores ficam desprezíveis em comparação com os de potência maior. Uma maneira prática e rigorosa de ver isso é fatorar uma potência comum de
dos polinômios e analisar os termos restantes, observando que termos com potências negativas tendem a zero quando
.
Passo 3
Fatoramos
(a menor das potências mais altas presentes) do numerador e do denominador para cancelar esse fator e facilitar a análise:
Passo 4
Cancelando
(válido para
, e aqui estamos analisando
) obtemos
Agora analisamos o comportamento de cada termo quando
:
- Termos como
tendem a . - O termo dominante no numerador é
, porque cresce sem limite quando . - O denominador tende para a constante
, já que todos os termos com potências negativas vão para .
Passo 5
Com isso, para
grande o quociente se comporta como
Como
e o denominador tende para
, o quociente tende para
. Em palavras: o numerador cresce como uma constante vezes
(ou, após cancelamento, como
), muito mais rápido que o denominador que fica aproximado por uma constante, portanto a razão diverge para
.