(3,0 pontos) Dada a função
. Faça o que se pede:
(a) Determine o domínio da funçāo
e as raízes, caso existam;
(b) Determine os limites da funçāo quando
e
;
(c) A funçāo
é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais sāo os pontos de descontinuidade e o porque.
(d) Escreva as equações das assíntotas verticais e horizontais, caso existam.
(e) Determine o conjunto Imagem de
.
(f) Com a informação sobre as assíntotas e atribuindo valores convenientes, dê o esboço do gráfico da função.
(a) Determine o domínio da funçāo
(b) Determine os limites da funçāo quando
(c) A funçāo
(d) Escreva as equações das assíntotas verticais e horizontais, caso existam.
(e) Determine o conjunto Imagem de
(f) Com a informação sobre as assíntotas e atribuindo valores convenientes, dê o esboço do gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede várias coisas. Vou listar claramente cada pergunta e o que a função já nos fornece:
- (a) Determinar o domínio de
e as raízes (zeros) caso existam. - (b) Calcular
e . - (c) Verificar se
é contínua em todos os reais; se não for, indicar pontos de descontinuidade e por quê. - (d) Escrever as equações das assíntotas verticais e horizontais, se existirem.
- (e) Determinar a imagem (conjunto de valores) de
. - (f) Com as informações sobre assíntotas e escolhendo valores convenientes, dar um esboço do gráfico.
Informações relevantes que temos imediatamente:
- O denominador é
. Para que a função exista, precisamos que o radicando seja estritamente positivo (pois tornaria o denominador zero e a expressão indeterminada). Assim precisamos estudar a desigualdade . - O numerador
anula a função apenas em , mas isso só é raiz se pertencer ao domínio.
Passo 2
Determinar o domínio (estudo do radicando). Primeiro fatoramos o quadrático:
As raízes do quadrático são
e
. Como a parábola abre para cima,
ocorre para
ou
. Além disso, em
ou
o radicando seria zero, o que tornaria o denominador zero (não permitido). Logo o domínio é
Determinar as raízes (zeros) de
: zeros ocorrem quando o numerador é zero, isto é
. Mas
não pertence ao domínio (pois
), portanto a função não tem raízes reais. Conclusão:
- Domínio:
. - Raízes: não existem (nenhuma).
Passo 3
Limites no infinito. A ideia é dividir numerador e denominador por
e analisar o sinal de
.
Para
: escrevemos
Quando
os termos
e
vão para
, portanto
Para
: note que
porque
. Assim
Passando
temos o mesmo raciocínio sobre as pequenas frações, então
Passo 4
Continuidade e descontinuidade. Observações:
- Em qualquer ponto do domínio
a expressão é (composição de) funções elementares com denominador não nulo, logo é contínua em todo ponto de . - Os pontos
e não pertencem ao domínio; portanto são pontos de descontinuidade da função (função não está definida neles). Além disso, nessas bordas o radicando tende a , o denominador tende a e o numerador tende a um número finito não nulo, o que produz comportamento não limitado (infinito) — isto é, assíntotas verticais (ver passo seguinte).
Portanto:
-
é contínua em todo ponto de e em todo ponto de . -
é descontínua em e porque nesses pontos a função não está definida e os limites laterais (quando existem) são infinitos.
Passo 5
Assíntotas verticais e estudo das singularidades em
e
.
Comportamento perto de
: para
(isto é,
— só faz sentido o lado direito porque para
entre
e
a função não está definida) temos numerador
e denominador
. Logo
Assim
é uma assíntota vertical.
Comportamento perto de
: para
vindo de
(apenas esse lado é válido), numerador
, denominador
, portanto
Logo
é assíntota vertical.
Assíntotas horizontais já foram obtidas no passo 3:
-
implica assíntota horizontal à direita. -
implica assíntota horizontal à esquerda.
Passo 6
Determinar a imagem de
. Para isso é útil estudar monotonicidade e extremos em cada ramo do domínio. Vamos derivar
e analisar sinais.
Calculemos
. Com
temos
. Derivando:
Colocando em forma simplificada (fator comum
):
Analisando o sinal de
em cada intervalo do domínio (lembre que o denominador é positivo em
):
- Em
: o numerador é negativo (pois ), então . Logo é estritamente decrescente em . - Em
: o sinal de segue o sinal de . Assim em (decrescente) e em (crescente). Há um mínimo em (pois muda de negativo para positivo).
Calcule
para obter o mínimo no ramo direito:
Agora use os limites nas extremidades de cada ramo para obter o conjunto imagem:
- No ramo
, é contínua e estritamente decrescente. Limites: e . Como a função decresce de (valor limite em ) até em , a imagem desse ramo é (note que não é assumido, é apenas limite). - No ramo
, tende a quando e tende a quando . Além disso tem um mínimo em com valor . Observe que
logo o mínimo do ramo direito é menor que
. Como ao aproximar de
a função vai a
e para
ela se aproxima de
por baixo, a imagem do ramo direito é
(o valor mínimo
é atingido em
).
Unindo as duas partes, a imagem total é
Passo 7
Resumo qualitativo e esboço do gráfico (instruções para desenhar). Pontos-chave para o esboço:
- Domínio: dois ramos, um em
(à esquerda) e outro em (à direita). Nada no intervalo . - Assíntotas verticais: linhas
e . - Assíntotas horizontais:
quando e quando . - Em
a função é estritamente decrescente, aproxima-se de quando (pela direita do eixo), e diverge para quando . Por exemplo, . - Em
a função vai de em , decresce até o mínimo em com , e depois cresce ligeiramente (tendendo a por baixo) até se aproximar assintoticamente de quando . - Não existem zeros (a curva nunca cruza o eixo
).
Com essas informações, desenhar:
- Trace as linhas verticais tracejadas
e . - Trace as linhas horizontais tracejadas
e . - No ramo esquerdo, desenhe uma curva que vem por cima de
quando é muito negativo (mas sempre < ), decresce e cai verticalmente para ao se aproximar de . - No ramo direito, desenhe uma curva que vem de
ao lado direito de , desce até o ponto (marcar esse ponto) e depois se aproxima de por baixo quando cresce.
Boa notícia: com esses passos tens tudo para desenhar o gráfico rápido na prova — marca as assíntotas, marca o mínimo em
e liga os comportamentos limites com a monotonicidade indicada.
Resposta
(a) Domínio:
. Raízes: nenhuma.
(b) e
.
(c) é contínua em todo ponto do domínio
e é descontínua em
e
(função não definida nesses pontos; limites laterais são infinitos).
(d) Assíntotas verticais: e
. Assíntotas horizontais:
(quando
) e
(quando
).
(e) Imagem: .
(f) Esboço: ramo esquerdo em decrescente aproximando
quando
e divergindo para
ao aproximar
; ramo direito em
diverge para
em
, tem mínimo em
com
, e aproxima
por baixo quando
.
(b)
(c)
(d) Assíntotas verticais:
(e) Imagem:
(f) Esboço: ramo esquerdo em