(3,0 pontos) Dada a função f(x)=\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+x-2}}. Faça o que se pede:
(a) Determine o domínio da funçāo f e as raízes, caso existam;
(b) Determine os limites da funçāo quando x \rightarrow+\infty e x \rightarrow-\infty;
(c) A funçāo f é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais sāo os pontos de descontinuidade e o porque.
(d) Escreva as equações das assíntotas verticais e horizontais, caso existam.
(e) Determine o conjunto Imagem de f.
(f) Com a informação sobre as assíntotas e atribuindo valores convenientes, dê o esboço do gráfico da função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+x-2}}
e pede várias coisas. Vou listar claramente cada pergunta e o que a função já nos fornece:
  • (a) Determinar o domínio de f e as raízes (zeros) caso existam.
  • (b) Calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x).
  • (c) Verificar se f é contínua em todos os reais; se não for, indicar pontos de descontinuidade e por quê.
  • (d) Escrever as equações das assíntotas verticais e horizontais, se existirem.
  • (e) Determinar a imagem (conjunto de valores) de f.
  • (f) Com as informações sobre assíntotas e escolhendo valores convenientes, dar um esboço do gráfico.
Informações relevantes que temos imediatamente:
  • O denominador é \sqrt{x^{2}+x-2}. Para que a função exista, precisamos que o radicando seja estritamente positivo (pois \sqrt{0}=0 tornaria o denominador zero e a expressão indeterminada). Assim precisamos estudar a desigualdade x^{2}+x-2>0.
  • O numerador 2x anula a função apenas em x=0, mas isso só é raiz se x=0 pertencer ao domínio.

Passo 2

Determinar o domínio (estudo do radicando). Primeiro fatoramos o quadrático:
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
As raízes do quadrático são x=-2 e x=1. Como a parábola abre para cima, x^{2}+x-2>0 ocorre para x<-2 ou x>1. Além disso, em x=\pm2 ou 1 o radicando seria zero, o que tornaria o denominador zero (não permitido). Logo o domínio é
\mathcal{D} = (-\infty,-2)\cup(1,\infty).
Determinar as raízes (zeros) de f: zeros ocorrem quando o numerador é zero, isto é 2x=0\Rightarrow x=0. Mas x=0 não pertence ao domínio (pois 0\in(-2,1)), portanto a função não tem raízes reais. Conclusão:
  • Domínio: \mathcal{D}=(-\infty,-2)\cup(1,\infty).
  • Raízes: não existem (nenhuma).

Passo 3

Limites no infinito. A ideia é dividir numerador e denominador por |x| e analisar o sinal de x.
Para x\to+\infty: escrevemos
f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+x-2}}=\frac{2x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}} =\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}}.
Quando x\to+\infty os termos \dfrac{1}{x} e \dfrac{2}{x^{2}} vão para 0, portanto
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{2}{\sqrt{1}}=2.
Para x\to-\infty: note que \sqrt{x^{2}+x-2}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}} porque x<0. Assim
f(x)=\frac{2x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}}=-\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}}.
Passando x\to-\infty temos o mesmo raciocínio sobre as pequenas frações, então
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-2.

Passo 4

Continuidade e descontinuidade. Observações:
  • Em qualquer ponto do domínio \mathcal{D} a expressão é (composição de) funções elementares com denominador não nulo, logo é contínua em todo ponto de \mathcal{D}.
  • Os pontos x=-2 e x=1 não pertencem ao domínio; portanto são pontos de descontinuidade da função (função não está definida neles). Além disso, nessas bordas o radicando tende a 0, o denominador tende a 0^{+} e o numerador tende a um número finito não nulo, o que produz comportamento não limitado (infinito) — isto é, assíntotas verticais (ver passo seguinte).
Portanto:
  • f é contínua em todo ponto de (-\infty,-2) e em todo ponto de (1,\infty).
  • f é descontínua em x=-2 e x=1 porque nesses pontos a função não está definida e os limites laterais (quando existem) são infinitos.

Passo 5

Assíntotas verticais e estudo das singularidades em x=-2 e x=1.
Comportamento perto de x=1: para x\downarrow 1 (isto é, x\to1^{+} — só faz sentido o lado direito porque para x<1 entre -2 e 1 a função não está definida) temos numerador \to 2 e denominador \to 0^{+}. Logo
\lim_{x\to1^{+}}f(x)=+\infty.
Assim x=1 é uma assíntota vertical.
Comportamento perto de x=-2: para x\uparrow -2 vindo de x<-2 (apenas esse lado é válido), numerador \to -4, denominador \to 0^{+}, portanto
\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=-\infty.
Logo x=-2 é assíntota vertical.
Assíntotas horizontais já foram obtidas no passo 3:
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2 implica assíntota horizontal y=2 à direita.
  • \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-2 implica assíntota horizontal y=-2 à esquerda.

Passo 6

Determinar a imagem de f. Para isso é útil estudar monotonicidade e extremos em cada ramo do domínio. Vamos derivar f e analisar sinais.
Calculemos f'(x). Com D(x)=x^{2}+x-2 temos f(x)=2xD^{-1/2}. Derivando:
f'(x)=2D^{-1/2}+2x\left(-\tfrac{1}{2}\right)D^{-3/2}(2x+1).
Colocando em forma simplificada (fator comum D^{-3/2}):
f'(x)=\frac{2D - x(2x+1)}{D^{3/2}}=\frac{x-4}{(x^{2}+x-2)^{3/2}}.
Analisando o sinal de f' em cada intervalo do domínio (lembre que o denominador é positivo em \mathcal{D}):
  • Em (-\infty,-2): o numerador x-4 é negativo (pois x< -2<4), então f'<0. Logo f é estritamente decrescente em (-\infty,-2).
  • Em (1,\infty): o sinal de f' segue o sinal de x-4. Assim f'<0 em (1,4) (decrescente) e f'>0 em (4,\infty) (crescente). Há um mínimo em x=4 (pois f' muda de negativo para positivo).
Calcule f(4) para obter o mínimo no ramo direito:
f(4)=\frac{2\cdot 4}{\sqrt{4^{2}+4-2}}=\frac{8}{\sqrt{16+4-2}}=\frac{8}{\sqrt{18}}=\frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.
Agora use os limites nas extremidades de cada ramo para obter o conjunto imagem:
  • No ramo (-\infty,-2), f é contínua e estritamente decrescente. Limites: \lim_{x\to-\infty}f(x)=-2 e \lim_{x\to-2^{-}}f(x)=-\infty. Como a função decresce de -2 (valor limite em -\infty) até -\infty em -2^{-}, a imagem desse ramo é (-\infty,-2) (note que -2 não é assumido, é apenas limite).
  • No ramo (1,\infty), f tende a +\infty quando x\to 1^{+} e tende a 2 quando x\to+\infty. Além disso f tem um mínimo em x=4 com valor f(4)=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}. Observe que
\frac{4\sqrt{2}}{3}\approx1{,}8856<2,
logo o mínimo do ramo direito é menor que 2. Como ao aproximar de 1^{+} a função vai a +\infty e para x\to\infty ela se aproxima de 2 por baixo, a imagem do ramo direito é \left[\dfrac{4\sqrt{2}}{3},+\infty\right) (o valor mínimo \dfrac{4\sqrt{2}}{3} é atingido em x=4).
Unindo as duas partes, a imagem total é
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,-2)\,\cup\,\left[\frac{4\sqrt{2}}{3},+\infty\right).

Passo 7

Resumo qualitativo e esboço do gráfico (instruções para desenhar). Pontos-chave para o esboço:
  • Domínio: dois ramos, um em (-\infty,-2) (à esquerda) e outro em (1,\infty) (à direita). Nada no intervalo [-2,1].
  • Assíntotas verticais: linhas x=-2 e x=1.
  • Assíntotas horizontais: y=-2 quando x\to-\infty e y=2 quando x\to+\infty.
  • Em (-\infty,-2) a função é estritamente decrescente, aproxima-se de y=-2 quando x\to-\infty (pela direita do eixo), e diverge para -\infty quando x\to-2^{-}. Por exemplo, f(-3)=-3.
  • Em (1,\infty) a função vai de +\infty em x\to1^{+}, decresce até o mínimo em x=4 com f(4)=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}, e depois cresce ligeiramente (tendendo a 2 por baixo) até se aproximar assintoticamente de y=2 quando x\to+\infty.
  • Não existem zeros (a curva nunca cruza o eixo x).
Com essas informações, desenhar:
  • Trace as linhas verticais tracejadas x=-2 e x=1.
  • Trace as linhas horizontais tracejadas y=-2 e y=2.
  • No ramo esquerdo, desenhe uma curva que vem por cima de y=-2 quando x é muito negativo (mas sempre < -2), decresce e cai verticalmente para -\infty ao se aproximar de x=-2.
  • No ramo direito, desenhe uma curva que vem de +\infty ao lado direito de x=1, desce até o ponto (4,\tfrac{4\sqrt{2}}{3}) (marcar esse ponto) e depois se aproxima de y=2 por baixo quando x cresce.
Boa notícia: com esses passos tens tudo para desenhar o gráfico rápido na prova — marca as assíntotas, marca o mínimo em x=4 e liga os comportamentos limites com a monotonicidade indicada.

Resposta

(a) Domínio: (-\infty,-2)\cup(1,\infty). Raízes: nenhuma.
(b) \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2 e \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-2.
(c) f é contínua em todo ponto do domínio (-\infty,-2)\cup(1,\infty) e é descontínua em x=-2 e x=1 (função não definida nesses pontos; limites laterais são infinitos).
(d) Assíntotas verticais: x=-2 e x=1. Assíntotas horizontais: y=-2 (quando x\to-\infty) e y=2 (quando x\to+\infty).
(e) Imagem: \displaystyle(-\infty,-2)\cup\left[\frac{4\sqrt{2}}{3},+\infty\right).
(f) Esboço: ramo esquerdo em (-\infty,-2) decrescente aproximando y=-2 quando x\to-\infty e divergindo para -\infty ao aproximar x=-2^{-}; ramo direito em (1,\infty) diverge para +\infty em x\to1^{+}, tem mínimo em x=4 com f(4)=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}, e aproxima y=2 por baixo quando x\to+\infty.

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