Calcule as transformadas de Laplace \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}\, em que:
f(t)=2+\operatorname{senh} k t.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede-se calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\} da função f(t)=2+\operatorname{senh} k t,onde k é uma constante (presume-se t\ge 0).
  • Informação relevante: a função é a soma de uma constante ( 2) e da função hiperbólica \operatorname{senh}kt.
  • Não há outros dados numéricos; a resposta deve ficar em termos de s (variável da transformada) e de k.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e significado das variáveis (mini-aula).
  • A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,onde s é um número complexo.
  • Interpretação dos símbolos:
    • t é a variável temporal (domínio original), t\ge 0.
    • s é a variável complexa da transformada (frequência complexa).
    • A integral converge apenas para valores de s que fazem o integrando decair suficientemente rápido (essa região de convergência será mencionada quando necessário).

Passo 3

Propriedade usada: linearidade da transformada (mini-aula curta).
  • A transformada de Laplace é linear: para quaisquer funções g_1,g_2 e constantes a,b, \mathcal{L}\{a g_1(t)+b g_2(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g_1(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g_2(t)\}(s).
  • Aplicando isso a f(t)=2+\operatorname{senh}kt obtemos \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{2\}(s)+\mathcal{L}\{\operatorname{senh}kt\}(s).

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{2\}(s) (passo a passo).
  • Pelo integral, \mathcal{L}\{2\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cdot 2\,dt = 2\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
  • A integral básica é \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \left[ -\dfrac{e^{-s t}}{s}\right]_{0}^{\infty}. Para que isso faça sentido, precisa-se de \operatorname{Re}(s)>0 (assim e^{-s t}\to 0 quando t\to\infty).
  • Avaliando os limites: \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\quad\text{(para \(\operatorname{Re}(s)>0\))}.
  • Portanto \mathcal{L}\{2\}(s)=2\cdot\frac{1}{s}=\frac{2}{s}\quad(\operatorname{Re}(s)>0).

Passo 5

Expressão da função hiperbólica e estratégia para \operatorname{senh}kt.
  • Lembrar que a função hiperbólica seno tem a representação exponencial: \operatorname{senh}k t = \frac{e^{k t}-e^{-k t}}{2}.
  • Essa identidade é útil porque a transformada de Laplace de exponenciais é direta. Então vamos escrever a transformada de \operatorname{senh}kt usando essa identidade.

Passo 6

Cálculo de \mathcal{L}\{\operatorname{senh}k t\}(s) (desdobrando em exponenciais).
  • Começando do integral: \mathcal{L}\{\operatorname{senh}k t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\operatorname{senh}k t\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\left(e^{k t}-e^{-k t}\right)dt.
  • Separando as duas integrais: \mathcal{L}\{\operatorname{senh}k t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-k)t}\,dt - \int_{0}^{\infty} e^{-(s+k)t}\,dt\right).
  • Cada integral é do tipo \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt = 1/\alpha, desde que \operatorname{Re}(\alpha)>0. Aqui os parâmetros são \alpha_1=s-k e \alpha_2=s+k. Para convergência precisamos de \operatorname{Re}(s-k)>0\quad\text{e}\quad \operatorname{Re}(s+k)>0,o que, para k real, equivale a \operatorname{Re}(s)>|k|. (Se k for complexo, a condição geral é \operatorname{Re}(s)>\max(\operatorname{Re}(k),-\operatorname{Re}(k))=\lvert\operatorname{Re}(k)\rvert.)
  • Avaliando as integrais: \mathcal{L}\{\operatorname{senh}k t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-k}-\frac{1}{s+k}\right),válido para \operatorname{Re}(s)>\lvert\operatorname{Re}(k)\rvert.

Passo 7

Simplificação da expressão para a transformada de \operatorname{senh}k t (álgebra passo a passo).
  • Calcular a diferença de frações: \frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-k}-\frac{1}{s+k}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+k)-(s-k)}{(s-k)(s+k)}.
  • O numerador fica (s+k)-(s-k)=2k. Assim \mathcal{L}\{\operatorname{senh}k t\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2k}{s^{2}-k^{2}}=\frac{k}{s^{2}-k^{2}}.
  • Relembrando a condição de convergência: \operatorname{Re}(s)>\lvert\operatorname{Re}(k)\rvert.

Passo 8

Juntando as partes (somando as transformadas) e interpretando o resultado.
  • Pela linearidade (Passo 3) e pelos resultados dos Passos 4 e 7: \mathcal{L}\{2+\operatorname{senh}k t\}(s)=\frac{2}{s}+\frac{k}{s^{2}-k^{2}}.
  • Região de convergência: para que ambas as parcelas sejam convergentes precisamos de \operatorname{Re}(s)>0 (da parcela 2/s) e de \operatorname{Re}(s)>\lvert\operatorname{Re}(k)\rvert (da parcela envolvendo \operatorname{senh}). Portanto, em termos práticos, a condição é \operatorname{Re}(s)>\max\{0,\lvert\operatorname{Re}(k)\rvert\}.Se k for real, fica simplesmente \operatorname{Re}(s)>|k| (quando |k|\ge 0 evidentemente).

Passo 9

Comentário prático e dica para a prova.
  • Atalho útil: memorizar \mathcal{L}\{\operatorname{senh}a t\}(s)=\dfrac{a}{s^{2}-a^{2}} (para \operatorname{Re}(s)>|a|). Assim, ao ver \operatorname{senh}k t basta aplicar essa fórmula e somar a transformada do constante.
  • Verifique sempre as hipóteses de convergência de integrais na prova — normalmente pedirão que se indique para quais s a transformada existe.

Resposta

\mathcal{L}\{\,2+\operatorname{senh}k t\,\}(s)=\frac{2}{s}+\frac{k}{s^{2}-k^{2}}
\text{(válido para }\operatorname{Re}(s)>\max\{0,\lvert\operatorname{Re}(k)\rvert\}\text{; se \(k\) for real, }\operatorname{Re}(s)>|k|\text{).}á

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