Calcule as transformadas de Laplace
, em que:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pede-se calcular a transformada de Laplace
da função onde é uma constante (presume-se ). - Informação relevante: a função é a soma de uma constante (
) e da função hiperbólica . - Não há outros dados numéricos; a resposta deve ficar em termos de
(variável da transformada) e de .
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e significado das variáveis (mini-aula).
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por onde é um número complexo. - Interpretação dos símbolos:
-
é a variável temporal (domínio original), . -
é a variável complexa da transformada (frequência complexa). - A integral converge apenas para valores de
que fazem o integrando decair suficientemente rápido (essa região de convergência será mencionada quando necessário).
-
Passo 3
Propriedade usada: linearidade da transformada (mini-aula curta).
- A transformada de Laplace é linear: para quaisquer funções
e constantes , - Aplicando isso a
obtemos
Passo 4
Cálculo de
(passo a passo).
- Pelo integral,
- A integral básica é
. Para que isso faça sentido, precisa-se de (assim quando ). - Avaliando os limites:
- Portanto
Passo 5
Expressão da função hiperbólica e estratégia para
.
- Lembrar que a função hiperbólica seno tem a representação exponencial:
- Essa identidade é útil porque a transformada de Laplace de exponenciais é direta. Então vamos escrever a transformada de
usando essa identidade.
Passo 6
Cálculo de
(desdobrando em exponenciais).
- Começando do integral:
- Separando as duas integrais:
- Cada integral é do tipo
, desde que . Aqui os parâmetros são e . Para convergência precisamos de o que, para real, equivale a . (Se for complexo, a condição geral é .) - Avaliando as integrais:
válido para .
Passo 7
Simplificação da expressão para a transformada de
(álgebra passo a passo).
- Calcular a diferença de frações:
- O numerador fica
. Assim - Relembrando a condição de convergência:
.
Passo 8
Juntando as partes (somando as transformadas) e interpretando o resultado.
- Pela linearidade (Passo 3) e pelos resultados dos Passos 4 e 7:
- Região de convergência: para que ambas as parcelas sejam convergentes precisamos de
(da parcela ) e de (da parcela envolvendo ). Portanto, em termos práticos, a condição é Se for real, fica simplesmente (quando evidentemente).
Passo 9
Comentário prático e dica para a prova.
- Atalho útil: memorizar
(para ). Assim, ao ver basta aplicar essa fórmula e somar a transformada do constante. - Verifique sempre as hipóteses de convergência de integrais na prova — normalmente pedirão que se indique para quais
a transformada existe.