Calcule os limites abaixo: lim t infty(raiz16 t^2+5-4 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Estamos lidando com limites envolvendo raízes quadradas e funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e entender seu comportamento conforme cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a raiz quadrada. Observamos que dentro da raiz temos raiz16t^2 + 5 = raizt^2(16 + 5t^2) . Podemos fatorar raiz16t^2 + 5 = t raiz16 + 5t^2 dessa parte para facilitar a simplificação:
Como está tendendo ao infinito e é positivo, . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de raiz16 + 5t^2 approx raiz16 = 4 conforme raiz16t^2 + 5 - 4t = t cdot 4 - 4t = 4t - 4t = 0 tende ao infinito. Quando raiz16 + 5t^2 = 4 + 58t^2 + termos menores é muito grande, t (4 + 58t^2) = 4t + 58t se aproxima de 0. Portanto:
4t + 58t - 4t = 58t
Substituindo de volta na expressão original:
No entanto, para ser mais preciso, podemos considerar o próximo termo da expansão:
Multiplicando por :
Subtraindo :
À medida que tende ao infinito, tende a 0.

Resposta

O limite é .

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