Calcule os limites abaixo:
lim x 0(1+5 x^2)^14 x^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite lim x 0(1+5 x^2)^14 x^2. Esse exercício está no campo do cálculo, especificamente no estudo de limites que envolvem funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites, logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão tornando-a mais fácil de lidar. Uma boa técnica é aplicar o logaritmo natural ( ln) ao limite. Isso porque trabalhar com logaritmos pode transformar potências em produtos, facilitando os cálculos. Assim, vamos considerar:
L = lim x 0(1+5 x^2)^14 x^2
Aplicando o logaritmo:
ln L = lim x 0 14 x^2 cdot ln(1 + 5x^2)

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de ln(1 + 5x^2)4x^2 quando x se aproxima de 0. Para isso, vamos usar uma aproximação que diz que, quando x é pequeno, ln(1 + x) approx x. Aplicando isso:
ln(1 + 5x^2) approx 5x^2
Substituindo na expressão do limite:
ln L approx lim x 0 5x^24x^2 = 54

Passo 4

Com o valor de ln L encontrado, agora precisamos voltar ao valor de L. Sabemos que se ln L = 54, então:
L = e^54

Resposta

O limite vale e^54.

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