Considere a hipérbole de equação y^2-x^2-x y=9.
Determine o(s) ponto(s) sobre a hipérbole dada, onde a reta tangente é paralela à reta y=x.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos da hipérbole y^2 - x^2 - x y = 9 onde a reta tangente é paralela à reta y = x. Vamos usar derivação implícita para encontrar y' = dydx e depois igualar esse valor a 1, que é o coeficiente angular de y = x.

Passo 2

Derivando implicitamente y^2 - x^2 - x y = 9, obtemos:
2y,y' - 2x - l(y + x,y'r) = 0

Passo 3

Agrupando os termos com y' e isolando-o, temos:
(2y - x),y' - 2x - y = 0
y' = 2x + y2y - x

Passo 4

Para que a tangente seja paralela a y = x, precisamos de y' = 1. Então:
2x + y2y - x = 1

Passo 5

Isso implica
2x + y = 2y - x Longrightarrow 3x = y

Passo 6

Substituindo y = 3x na equação da hipérbole:
(3x)^2 - x^2 - x,(3x) = 9
9x^2 - x^2 - 3x^2 = 9
5x^2 = 9 Longrightarrow x^2 = 95 Longrightarrow x = pm 3raiz5

Passo 7

Assim, y = 3x y = pm tfrac9raiz5.

Resposta

Os pontos pedidos são l(tfrac3raiz5,,tfrac9raiz5r) e l(-tfrac3raiz5,,-tfrac9raiz5r).

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