Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular:
Nesse exercício, estamos lidando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver esse tipo de limite, especialmente quando a substituição direta resulta em uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $, vamos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador até que possamos encontrar um limite definido.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando tentamos substituir $ x = 0 $ diretamente na expressão:
Aqui, percebemos que acabamos com uma forma indefinida $ \frac{1}{0} $. Porém, parece que houve um erro na substituição. Vamos refazer isso com atenção:
Substituindo $ x = 0 $:
Então, temos:
Ainda assim, obtemos uma forma indefinida, mas na verdade não é $ \frac{0}{0} $. Vamos analisar isso com calma.
Passo 3
Observar que $ \frac{1}{0} $ tende ao infinito, mas precisamos ter certeza se estamos lidando com uma forma indeterminada adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital. Na verdade, a forma $ \frac{1}{0} $ sugere que o limite tende a $ \infty $ ou $ -\infty $, dependendo do lado pelo qual $ x $ se aproxima de 0.
Porém, para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos de uma forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $. Vamos verificar novamente:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então, de fato, temos $ \frac{1}{0} $, o que indica que o limite tende a $ \infty $.
Passo 4
Portanto, concluímos que:
Isso significa que, à medida que $ x $ se aproxima de 0, a expressão se torna cada vez maior sem limites.
Resposta
O limite é infinito, ou seja: