Calcule os limites abaixo:
lim x 0 e^2 x-2 x cos (x)x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular:
lim x 0 e^2x - 2x cos (x)x^2
Nesse exercício, estamos lidando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver esse tipo de limite, especialmente quando a substituição direta resulta em uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $, vamos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador até que possamos encontrar um limite definido.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando tentamos substituir $ x = 0 $ diretamente na expressão:
x = 0
Aqui, percebemos que acabamos com uma forma indefinida $ \frac{1}{0} $. Porém, parece que houve um erro na substituição. Vamos refazer isso com atenção:
Substituindo $ x = 0 $:
e^2 cdot 0 - 2 cdot 0 cdot cos(0)0^2 = 1 - 00 = 10
10
x = 0
Então, temos:
e^2 cdot 0 = e^0 = 1
Ainda assim, obtemos uma forma indefinida, mas na verdade não é $ \frac{0}{0} $. Vamos analisar isso com calma.

Passo 3

Observar que $ \frac{1}{0} $ tende ao infinito, mas precisamos ter certeza se estamos lidando com uma forma indeterminada adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital. Na verdade, a forma $ \frac{1}{0} $ sugere que o limite tende a $ \infty $ ou $ -\infty $, dependendo do lado pelo qual $ x $ se aproxima de 0.
Porém, para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos de uma forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $. Vamos verificar novamente:
Calculando o numerador:
10
Calculando o denominador:
10
Então, de fato, temos $ \frac{1}{0} $, o que indica que o limite tende a $ \infty $.

Passo 4

Portanto, concluímos que:
lim x 0 e^2x - 2x cos (x)x^2 = infty
Isso significa que, à medida que $ x $ se aproxima de 0, a expressão se torna cada vez maior sem limites.

Resposta

O limite é infinito, ou seja:
lim x 0 e^2x - 2x cos (x)x^2 = infty

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