Calcule os limites abaixo:
lim x 0^+(1x^2-1sen x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+l(1x^2-1sin xr).
O conteúdo central é analisar o comportamento de sin x quando x é pequeno, usando expansão de Taylor ou comparação assintótica.

Passo 2

Usamos a expansão de Taylor de sin x em torno de 0:
sin x = x - x^36 + o(x^3)
Dessa forma,
sin x = xl(1 - tfracx^26 + o(x^2)r)

Passo 3

Invertendo a expressão para obter 1/sin x:
1sin x = 1xcdot11 - x^26 + o(x^2) = 1xl(1 + x^26 + o(x^2)r) = 1x + x6 + o(x)

Passo 4

Substituindo no limite,
1x^2 - 1sin x = 1x^2 - l(1x + x6 + o(x)r) = 1x^2 - 1x - x6 + o(x)
Quando xto0^+, o termo dominante é tfrac1x^2, que tende a +infty muito mais rápido que tfrac1x. Logo toda a expressão diverge para +infty.

Resposta

+infty

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