(1,0 ponto) Considere o operador linear T: R^3 R^3 dado por
T(x, y, z)=(x+2 y-z,-2 x-3 y+z, 2 x+2 y-2 z)
Mostre que T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x + 2y - z,;-2x - 3y + z,;2x + 2y - 2z,),
e pede para mostrar que T é diagonalizável.
Conteúdo: teoria de autovalores e autovetores; condição de diagonalizabilidade em termos das multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e1,e2,e3.
T(e1) = T(1,0,0) = (1,-2,2), T(e2) = (2,-3,2), T(e3)=(-1,1,-2)
Logo a matriz é
A = 1 & 2 & -1 -2&-3& 1 2 & 2 & -2
Para diagonalizar, precisamos achar o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I).

Passo 3

Calculemos
chiA(lambda) = det 1-lambda & 2 & -1 -2 & -3-lambda & 1 2 & 2 & -2-lambda = lambda^3 +4lambda^2 +5lambda +2
Fatorando, encontramos
chiA(lambda) = (lambda+1)^2(lambda+2)
Os autovalores são lambda1=-1 (algebraica 2) e lambda2=-2 (algebraica 1).

Passo 4

Para resolvemos :
Dimensão do espaço próprio é (dois parâmetros livres ), igual à multiplicidade algébrica.

Passo 5

Para resolvemos :
O espaço próprio tem dimensão , que bate com a multiplicidade algébrica de .

Passo 6

Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, obtemos três autovetores linearmente independentes. Portanto A (e logo T) é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável.

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