Calcule os limites abaixo:
lim x 2 x^2-4x^2+x-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 2 x^2-4x^2+x-6. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente lidando com limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar saber como fatorar expressões algébricas e simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador x^2 - 4. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 + x - 6. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -6 e somados dão +1. Esses números são +3 e -2:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^2-4x^2+x-6 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(x - 2)

Passo 5

Vemos que (x - 2) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos:
(x - 2)(x + 2)(x + 3)(x - 2) = x + 2x + 3

Passo 6

Agora que a expressão está simplificada, podemos calcular o limite substituindo x por 2:
lim x 2 x + 2x + 3 = 2 + 22 + 3 = 45

Resposta

O limite é 45.

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