Use transformada de Laplace para calcular a solução de cada PVI abaixo:
ly^prime prime+2 y^prime-3 y=e^t, 0 <= t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com algumas condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Pra isso, vamos precisar lembrar como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e resolver uma equação algébrica pra encontrar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
  • A transformada de $ y’(t) $ é $ sY(s) - y(0) $.
  • A transformada de $ y’’(t) $ é $ s^2Y(s) - s y(0) - y’(0) $.
  • A transformada de $ e^{t} $ é $ \frac{1}{s - 1} $.
Então, aplicando na nossa equação:
y'(t)
Substituindo:
sY(s) - y(0)

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais: $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $.
Substituindo na equação:
y(0) = 0
Simplificando:
y'(0) = 1
Juntando os termos com $ Y(s) $:
s^2Y(s) - s cdot 0 - 1 + 2(sY(s) - 0) - 3Y(s) = 1s - 1

Passo 4

Vamos isolar $ Y(s) $:
Y(s)
Colocando o 1 como $ \frac{s - 1}{s - 1} $:
(s^2 + 2s - 3)Y(s) = 1s - 1 + 1
Então:
s - 1s - 1

Passo 5

Vamos fatorar o denominador $ s^2 + 2s - 3 $:
s^2 + 2s - 3
Então, a expressão para $ Y(s) $ fica:
s^2 + 2s - 3 = (s + 3)(s - 1)
Agora, vamos decompor em frações parciais:
Y(s)
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 1)^2 (s + 3) $:
Y(s) = s(s - 1)^2 (s + 3)
Escolhendo valores de $ s $ para facilitar:
  • Para $ s = 1 $:
s(s - 1)^2 (s + 3) = As - 1 + B(s - 1)^2 + Cs + 3
  • Para $ s = -3 $:
(s - 1)^2 (s + 3)
Para encontrar $ A $, podemos usar outro valor, por exemplo, $ s = 0 $:
s = A(s - 1)(s + 3) + B(s + 3) + C(s - 1)^2
s
s = 1
Então, temos:
1 = A(0)(4) + B(4) + C(0) Rightarrow B = 14

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
y(t)

Resposta

A solução da PVI é:
y(t) = 316 e^t + 14 t e^t - 316 e^-3t

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