Use transformada de Laplace para calcular a solução de cada PVI abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com algumas condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Pra isso, vamos precisar lembrar como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e resolver uma equação algébrica pra encontrar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
- A transformada de $ y’(t) $ é $ sY(s) - y(0) $.
- A transformada de $ y’’(t) $ é $ s^2Y(s) - s y(0) - y’(0) $.
- A transformada de $ e^{t} $ é $ \frac{1}{s - 1} $.
Então, aplicando na nossa equação:
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais: $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Juntando os termos com $ Y(s) $:
Passo 4
Vamos isolar $ Y(s) $:
Colocando o 1 como $ \frac{s - 1}{s - 1} $:
Então:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador $ s^2 + 2s - 3 $:
Então, a expressão para $ Y(s) $ fica:
Agora, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 1)^2 (s + 3) $:
Escolhendo valores de $ s $ para facilitar:
- Para $ s = 1 $:
- Para $ s = -3 $:
Para encontrar $ A $, podemos usar outro valor, por exemplo, $ s = 0 $:
Então, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
Resposta
A solução da PVI é: