Use transformada de Laplace para calcular a solução de cada PVI abaixo:
ly^prime prime+2 y^prime+2 y=sen 2 t, 0 <= t

Passo 1

Resumimos o PVI como
Temos a equação
y''+2y'+2y=sin2t, y(0)=0, y'(0)=1
O conteúdo é transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas:
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Lsin2t=2s^2+4

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados:
Ly''+2Ly'+2Ly=Lsin2t
Substituindo as condições iniciais e os resultados acima:
(s^2Y-1)+2(sY)+2Y=2s^2+4
Agrupando em Y(s):
(s^2+2s+2)Y(s)-1=2s^2+4
Logo
Y(s)=1s^2+2s+2+2(s^2+4)(s^2+2s+2)

Passo 3

Invertemos o primeiro termo diretamente:
1s^2+2s+2=1(s+1)^2+1longrightarrow e^-tsin t

Passo 4

Para o segundo termo fazemos frações parciais:
Procuramos A,B,C,D tais que
2(s^2+4)((s+1)^2+1)=As+Bs^2+4+Cs+D(s+1)^2+1
Expansão e comparação de coeficientes dão
$$A=-\tfrac{1}{5},;B=-\tfrac{1}{5},;C=\tfrac{1}{5},;D=\tfrac{3}{5}.
A=-tfrac15,;B=-tfrac15,;C=tfrac15,;D=tfrac35
\frac{2}{(s2+4)((s+1)2+1)}=-\frac{1}{5}\frac{s+1}{s2+4}+\frac{1}{5}\frac{s+3}{(s+1)2+1}.
$$

Passo 5

Invertendo cada parcela:
Para s+1s^2+4 temos
L^-1ss^2+4=cos2t, L^-11s^2+4=tfrac12sin2t
e para s+3(s+1)^2+1=s+1(s+1)^2+1+2(s+1)^2+1 vem
L^-1s+1(s+1)^2+1=e^-tcos t, L^-12(s+1)^2+1=2e^-tsin t

Passo 6

Somando todos os termos e simplificando chegamos a:
y(t)=e^-tsin t-15l(cos2t+tfrac12sin2tr)+15l(e^-tcos t+2e^-tsin tr)
Agrupando termos exponenciais:
y(t)=15e^-t(cos t+7sin t)-15cos2t-110sin2t

Resposta

y(t)=15e^-t(cos t+7sin t)-15cos2t-110sin2t

Exercícios relacionados