Use transformada de Laplace para calcular a solução de cada PVI abaixo:
Passo 1
Resumimos o PVI como
Temos a equação
Temos a equação
O conteúdo é transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas:
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados:
Substituindo as condições iniciais e os resultados acima:
Agrupando em Y(s):
Logo
Passo 3
Invertemos o primeiro termo diretamente:
Passo 4
Para o segundo termo fazemos frações parciais:
Procuramos A,B,C,D tais que
Procuramos A,B,C,D tais que
Expansão e comparação de coeficientes dão
$$A=-\tfrac{1}{5},;B=-\tfrac{1}{5},;C=\tfrac{1}{5},;D=\tfrac{3}{5}.
\frac{2}{(s2+4)((s+1)2+1)}=-\frac{1}{5}\frac{s+1}{s2+4}+\frac{1}{5}\frac{s+3}{(s+1)2+1}.
$$
Passo 5
Invertendo cada parcela:
Para temos
Para
e para
vem
Passo 6
Somando todos os termos e simplificando chegamos a:
Agrupando termos exponenciais: