Calcule os limites abaixo
lim x a x^2-(a+1) x+ax^3-a^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite\n limxto a x^2-(a+1)x+ax^3-a^3. Trata-se de um limite de função racional que ao substituir diretamente x=a gera a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Primeiro, identifique a forma indeterminada substituindo x=a em cada polinômio. No numerador temos:\n a^2 - (a+1)a + a = a^2-a^2-a + a = 0, no denominador:\n a^3-a^3=0 Logo é a forma 0/0, e isso justifica usar fatoração.

Passo 3

Agora, fatoramos o numerador como um produto de fatores lineares. Observando que x=1 e x=a são raízes, temos:
x^2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a)

Passo 4

Em seguida, fatoramos o denominador usando a diferença de cubos. A fórmula é u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2). Aplicando com u=x e v=a:
x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)

Passo 5

Com as fatorações, o quociente fica:\n (x-1)(x-a)(x-a)(x^2+ax+a^2)=x-1x^2+ax+a^2, xneq a

Passo 6

Finalmente, basta calcular o limite substituindo x=a na expressão simplificada:
limxto ax-1x^2+ax+a^2=a-1a^2+a^2+a^2=a-13a^2

Resposta

a-13a^2

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