Dada a EDO
d^2 yd x^2-2 d yd x+y=2 e^x
Resolva essa EDO de forma detalhada!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que nos foi dada:
d^2 yd x^2 - 2 d yd x + y = 2 e^x
Esse tipo de equação envolve cálculo diferenciado e é do tipo linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
d^2 yd x^2 - 2 d yd x + y = 0
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma $ y = e^{m x} $. Substituindo na equação homogênea, temos:
y = e^m x
Dividindo ambos os lados por $ e^{m x} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
m^2 e^m x - 2 m e^m x + e^m x = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
e^m x
Como temos uma raiz dupla $ m = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
m^2 - 2 m + 1 = 0
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Observamos que o termo da direita é $ 2 e^{x} $, que já está na forma da solução homogênea. Por isso, precisamos multiplicar nossa suposição por $ x $ para evitar a duplicação da solução homogênea.
Assumimos então uma solução particular da forma:
d^2 yd x^2 - 2 d yd x + y = 2 e^x
Onde $ A $ é uma constante a ser determinada. Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
2 e^x
Segunda derivada:
x
Substituindo $ y_p $, $ \frac{d y_p}{d x} $ e $ \frac{d^{2} y_p}{d x^{2}} $ na equação original:
yp(x) = A x e^x
Simplificando:
A
Os termos com $ x e^{x} $ se cancelam:
yp(x)
O que não faz sentido a não ser que reconsideremos nossa suposição. Na verdade, devemos tentar uma solução particular da forma:
d ypd x = A e^x + A x e^x
Vamos recalcular as derivadas:
Primeira derivada:
d^2 ypd x^2 = A e^x + A e^x + A x e^x = 2 A e^x + A x e^x
Segunda derivada:
yp
Substituindo na equação original:
d ypd x
Simplificando:
d^2 ypd x^2
Cancelando os termos:
(2 A e^x + A x e^x) - 2 (A e^x + A x e^x) + A x e^x = 2 e^x
Igualando os coeficientes:
2 A e^x + A x e^x - 2 A e^x - 2 A x e^x + A x e^x = 2 e^x
Portanto, a solução particular é:
x e^x

Passo 4

Agora, combinamos a solução homogênea $ y_h(x) $ com a solução particular $ y_p(x) $ para obter a solução geral da equação:
yh(x)
Podemos fatorar $ e^{x} $:
yp(x)

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = e^x (C1 + C2 x + x^2)
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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