Dada a EDO
Resolva essa EDO de forma detalhada!
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que nos foi dada:
Esse tipo de equação envolve cálculo diferenciado e é do tipo linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma $ y = e^{m x} $. Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por $ e^{m x} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla $ m = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
Observamos que o termo da direita é $ 2 e^{x} $, que já está na forma da solução homogênea. Por isso, precisamos multiplicar nossa suposição por $ x $ para evitar a duplicação da solução homogênea.
Assumimos então uma solução particular da forma:
Onde $ A $ é uma constante a ser determinada. Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo $ y_p $, $ \frac{d y_p}{d x} $ e $ \frac{d^{2} y_p}{d x^{2}} $ na equação original:
Simplificando:
Os termos com $ x e^{x} $ se cancelam:
O que não faz sentido a não ser que reconsideremos nossa suposição. Na verdade, devemos tentar uma solução particular da forma:
Vamos recalcular as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Cancelando os termos:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Agora, combinamos a solução homogênea $ y_h(x) $ com a solução particular $ y_p(x) $ para obter a solução geral da equação:
Podemos fatorar $ e^{x} $:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.