Determine todos os valores do parâmetro a para os quais as raízes reais da equação
existem e estão no intervalo
Passo 1
O enunciado dá uma equação envolvendo radicais em x e pede os valores de a para que existam raízes reais e elas estejam em [2,17]. O conteúdo é resolução de equação paramétrica com raízes quadradas. Vamos precisar de uma substituição para simplificar o radicando.
Passo 2
Observamos que x deve satisfazer x−1≥0, ou seja x≥1. Definimos t=
, com t≥0. Daí x=
. Substituindo em x+3−4
e em x+8−6
, obtemos
— x+3−4 =
— x+8−6 =
.
— x+3−4
— x+8−6
Passo 3
Assim a equação vira
, ou seja
.
Passo 4
Para resolver
fazemos análise em três trechos de t:
— Se t<2: então a=5−2t, logo t1=(5−a)/2 (com 0≤t1<2).
— Se 2≤t≤3: então a=1 e t pode ser qualquer em [2,3].
— Se t>3: então a=2t−5, logo t2=(a+5)/2 (com t2>3).
— Se t<2:
— Se 2≤t≤3:
— Se t>3:
Passo 5
Agora transformamos cada t em x=t^2+1 e impomos 2≤x≤17. Para t1=(5−a)/2 vem x1=((5−a)/2)^2+1 e isso está em [2,17] só se a∈[1,3]. Para t2=(a+5)/2 vem x2=((a+5)/2)^2+1 e isso está em [2,17] só se a∈[1,3]. No caso a=1 temos t∈[2,3] e x∈[5,10]⊂[2,17].
Passo 6
Portanto, o conjunto de valores de a que garantem a existência de raízes reais de x e que todas elas ficam em [2,17] é a∈[1,3].