Determine todos os valores do parâmetro a para os quais as raízes reais da equação
raizx+3-4 raizx-1+raizx+8-6 raizx-1=a
existem e estão no intervalo [2,17]

Passo 1

O enunciado dá uma equação envolvendo radicais em x e pede os valores de a para que existam raízes reais e elas estejam em [2,17]. O conteúdo é resolução de equação paramétrica com raízes quadradas. Vamos precisar de uma substituição para simplificar o radicando.

Passo 2

Observamos que x deve satisfazer x−1≥0, ou seja x≥1. Definimos t= raizx-1, com t≥0. Daí x= t^2+1. Substituindo em x+3−4 raizx-1 e em x+8−6 raizx-1, obtemos
— x+3−4 raizx-1= t^2+1+3−4t=t^2−4t+4=(t-2)^2
— x+8−6 raizx-1= t^2+1+8−6t=t^2−6t+9=(t-3)^2.

Passo 3

Assim a equação vira raiz(t-2)^2+raiz(t-3)^2=a, ou seja |t-2|+|t-3|=a.

Passo 4

Para resolver |t-2|+|t-3|=a fazemos análise em três trechos de t:
— Se t<2: |t-2|=2−t,|t-3|=3−t então a=5−2t, logo t1=(5−a)/2 (com 0≤t1<2).
— Se 2≤t≤3: |t-2|+|t-3|=(t-2)+(3−t)=1 então a=1 e t pode ser qualquer em [2,3].
— Se t>3: |t-2|=t−2,|t-3|=t−3 então a=2t−5, logo t2=(a+5)/2 (com t2>3).

Passo 5

Agora transformamos cada t em x=t^2+1 e impomos 2≤x≤17. Para t1=(5−a)/2 vem x1=((5−a)/2)^2+1 e isso está em [2,17] só se a∈[1,3]. Para t2=(a+5)/2 vem x2=((a+5)/2)^2+1 e isso está em [2,17] só se a∈[1,3]. No caso a=1 temos t∈[2,3] e x∈[5,10]⊂[2,17].

Passo 6

Portanto, o conjunto de valores de a que garantem a existência de raízes reais de x e que todas elas ficam em [2,17] é a∈[1,3].

Resposta

ain[1,3]

Exercícios relacionados