Encontre um valor aproximado para
, usando um polinômio de Taylor de ordem 2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um valor aproximado de
usando um polinômio de Taylor de ordem 2. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor na matemática, e vamos precisar conhecer a expansão da série de Taylor para a função logarítmica natural ao redor de um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de ordem 2 para uma função
em torno de
é dado por:
No nosso caso, queremos aproximar
. Podemos reescrever isso como
, ou seja,
. Vamos usar a expansão em torno de
para simplificar as contas.
Passo 3
Agora, vamos identificar nossa função e suas derivadas:
-
- A primeira derivada:
- A segunda derivada:
Avaliar essas derivadas em
:
Passo 4
Agora, substituímos tudo na fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2:
Com os valores que encontramos:
Agora, substituímos
:
Resposta
Uma aproximação para
usando um polinômio de Taylor de ordem 2 é
.