Encontre um valor aproximado para ln (1,02), usando um polinômio de Taylor de ordem 2 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um valor aproximado de ln(1,02) usando um polinômio de Taylor de ordem 2. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor na matemática, e vamos precisar conhecer a expansão da série de Taylor para a função logarítmica natural ao redor de um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de ordem 2 para uma função f(x) em torno de x = a é dado por:
f(x) approx f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2(x - a)^2
No nosso caso, queremos aproximar ln(1,02). Podemos reescrever isso como ln(1 + 0,02), ou seja, x = 0,02. Vamos usar a expansão em torno de a = 0 para simplificar as contas.

Passo 3

Agora, vamos identificar nossa função e suas derivadas:
  • f(x) = ln(1 + x)
  • A primeira derivada: f'(x) = 11 + x
  • A segunda derivada: f''(x) = -1(1 + x)^2
Avaliar essas derivadas em x = 0:
  • f(0) = ln(1 + 0) = ln(1) = 0
  • f'(0) = 11 + 0 = 1
  • f''(0) = -1(1 + 0)^2 = -1

Passo 4

Agora, substituímos tudo na fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2:
ln(1 + x) approx f(0) + f'(0)x + f''(0)2x^2
Com os valores que encontramos:
ln(1 + x) approx 0 + 1 cdot x + -12x^2 = x - x^22
Agora, substituímos x = 0,02:
ln(1,02) approx 0,02 - (0,02)^22 = 0,02 - 0,00042 = 0,02 - 0,0002 = 0,0198

Resposta

Uma aproximação para ln(1,02) usando um polinômio de Taylor de ordem 2 é 0,0198.

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