Calcule os limites abaixo:
lim x infty x^3+1x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite no infinito de uma razão de polinômios:
limxtoinftyx^3+1x+2
Esse tipo de problema envolve o comportamento de polinômios quando x cresce sem limite, e podemos usar propriedades de graus de polinômios ou fatoração para resolver.

Passo 2

Uma regra geral diz que, se temos
P(x)Q(x),
onde P e Q são polinômios de graus deg(P) e deg(Q), então:
  • se deg(P)<deg(Q), o limite em xtoinfty é 0;
  • se deg(P)=deg(Q), o limite é o quociente dos coeficientes líderes;
  • se deg(P)>deg(Q), o valor absoluto da razão cresce sem limite, e o sinal é o do produto dos coeficientes líderes.
No nosso caso, deg(x^3+1)=3 e deg(x+2)=1, com coeficiente líder de x^3+1 igual a 1>0. Logo antecipamos que o limite diverge para +infty.

Passo 3

Para ver isso de forma mais explícita, fatoramos potências de x em numerador e denominador. Escrevemos
x^3+1x+2 =x^3l(1+x^-3r)xl(1+2/xr) =x^2,1+x^-31+2/x
À medida que xtoinfty, temos x^-3to0 e 2/xto0. Portanto
1+x^-31+2/x;longrightarrow;1+01+0=1,
e sobra
x^2cdot 1;longrightarrow;infty

Resposta

+infty

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