Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite no infinito de uma razão de polinômios:
Esse tipo de problema envolve o comportamento de polinômios quando
cresce sem limite, e podemos usar propriedades de graus de polinômios ou fatoração para resolver.
Passo 2
Uma regra geral diz que, se temos
onde
e
são polinômios de graus
e
, então:
- se
, o limite em é ; - se
, o limite é o quociente dos coeficientes líderes; - se
, o valor absoluto da razão cresce sem limite, e o sinal é o do produto dos coeficientes líderes.
No nosso caso,
e
, com coeficiente líder de
igual a
. Logo antecipamos que o limite diverge para
.
Passo 3
Para ver isso de forma mais explícita, fatoramos potências de
em numerador e denominador. Escrevemos
À medida que
, temos
e
. Portanto
e sobra