Faça o mapa de contorno das funções a seguir mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
Isso envolve encontrar todas as curvas no plano
ao longo das quais
é constante.
Passo 2
Para cada valor constante
, a curva de nível é definida por
Isolando
, obtemos a família de curvas
Passo 3
Interpretamos essa família:
- Se
, a curva fica acima do eixo , decaindo exponencialmente para zero quando . - Se
, é o mesmo formato espelhado abaixo do eixo . - Se
, a curva de nível é simplesmente
o próprio eixo
.
Passo 4
Para visualizar várias curvas de nível, escolhemos alguns valores típicos de
, por exemplo
Isso gera as seguintes equações:
Em
cada curva passa por
. Todas têm assíntota horizontal
para
e crescem exponencialmente para
.
Passo 5
No mapa de contorno, desenhamos essas cinco curvas, vendo claramente:
- As curvas de nível positivas decaem de
e em frente ao eixo . - As curvas negativas espelham-se abaixo.
- A curva
é o próprio eixo .
Resposta
As curvas de nível de
são dadas por
para vários valores de
(por exemplo
), formando monotonias exponenciais acima e abaixo do eixo
.