Faça o mapa de contorno das funções a seguir mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=y e^x

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
f(x,y)=y,e^x
Isso envolve encontrar todas as curvas no plano (x,y) ao longo das quais f(x,y) é constante.

Passo 2

Para cada valor constante CinR, a curva de nível é definida por
f(x,y)=C Longrightarrow y,e^x=C
Isolando y, obtemos a família de curvas
y = C,e^-x

Passo 3

Interpretamos essa família:
  • Se C>0, a curva fica acima do eixo x, decaindo exponencialmente para zero quando xto+infty.
  • Se C<0, é o mesmo formato espelhado abaixo do eixo x.
  • Se C=0, a curva de nível é simplesmente
y=0,
o próprio eixo x.

Passo 4

Para visualizar várias curvas de nível, escolhemos alguns valores típicos de C, por exemplo
Cin-2,,-1,,0,,1,,2
Isso gera as seguintes equações:
y = -2,e^-x, y = -1,e^-x, y = 0, y = 1,e^-x, y = 2,e^-x
Em x=0 cada curva passa por (0,C). Todas têm assíntota horizontal y=0 para xto+infty e crescem exponencialmente para xto-infty.

Passo 5

No mapa de contorno, desenhamos essas cinco curvas, vendo claramente:
  • As curvas de nível positivas decaem de (0,1) e (0,2) em frente ao eixo x.
  • As curvas negativas espelham-se abaixo.
  • A curva C=0 é o próprio eixo x.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=y,e^x são dadas por
y = C,e^-x,
para vários valores de C (por exemplo -2,-1,0,1,2), formando monotonias exponenciais acima e abaixo do eixo x.

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