Calcule os limites abaixo.
lim x +infty x^3e^x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o limite limxto+inftyx^3e^x. O conteúdo envolve limites de funções e a forma indeterminada tfracinftyinfty, para a qual vamos usar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Ao substituir xto+infty diretamente, o numerador x^3 e o denominador e^x tendem ambos a +infty, caracterizando a indeterminação tfracinftyinfty. Portanto, podemos aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
limxto+inftyx^3e^x = limxto+infty3x^2e^x

Passo 4

Ainda temos a forma tfracinftyinfty, então aplicamos l’Hôpital novamente:
limxto+infty3x^2e^x = limxto+infty6xe^x

Passo 5

A indeterminação persiste, por isso usamos l’Hôpital pela terceira vez:
limxto+infty6xe^x = limxto+infty6e^x

Passo 6

Agora, ao levar xto+infty, temos e^xto+infty e logo tfrac6e^xto0. Assim, o limite original vale zero.

Resposta

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