Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 100}(\log (x))=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 100}(\log(x)).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função considerada é \log(x).
  • O ponto de interesse é x=100.
  • Não foi especificada a base do logaritmo no enunciado; vou interpretar \log como o logaritmo natural (base e), que é o costume em cálculo. Se você usar outra base, o argumento abaixo mantém a forma (a simplificação final muda numericamente apenas pelo valor de \log(10) nessa base).

Passo 2

Conceito importante (aqui eu te explico como pensar na prova): a função logarítmica é contínua em todo o seu domínio (0,\infty). Vou explicar isso rapidinho e de forma intuitiva:
  • Uma função f é contínua em a se, quando x se aproxima de a, f(x) se aproxima de f(a).
  • O logaritmo natural \ln(x) é a inversa da função exponencial e^x. Como e^x é contínua e bijetora em \mathbb{R}, sua inversa \ln(x) também é contínua em (0,\infty).
  • Em palavras simples: não existe salto ou quebra em \ln(x) quando x>0; portanto podemos substituir x por 100 diretamente dentro do logaritmo ao calcular o limite.

Passo 3

Aplicando a propriedade da continuidade: se f é contínua em a, então
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Como \log(x) (aqui interpretada como \ln(x)) é contínua em x=100, temos
\lim_{x\to 100} \log(x) = \log(100).

Passo 4

Agora simplificamos \log(100). Usamos a propriedade de logaritmos que diz \log(a^b)=b\log(a). Observando que 100=10^2, obtemos
\log(100)=\log(10^2)=2\log(10).
Se \log for o logaritmo natural, escrevemos \log(100)=\ln(100)=2\ln(10). Para ficar mais concreto, uma aproximação numérica é \ln(10)\approx 2{,}302585, logo
\ln(100)\approx 2\cdot 2{,}302585 \approx 4{,}60517.

Resposta

\ln(100)=2\ln(10)

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