Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Não foi especificada a base do logaritmo no enunciado; vou interpretar
como o logaritmo natural (base ), que é o costume em cálculo. Se você usar outra base, o argumento abaixo mantém a forma (a simplificação final muda numericamente apenas pelo valor de nessa base).
Passo 2
Conceito importante (aqui eu te explico como pensar na prova): a função logarítmica é contínua em todo o seu domínio
. Vou explicar isso rapidinho e de forma intuitiva:
- Uma função
é contínua em se, quando se aproxima de , se aproxima de . - O logaritmo natural
é a inversa da função exponencial . Como é contínua e bijetora em , sua inversa também é contínua em . - Em palavras simples: não existe salto ou quebra em
quando ; portanto podemos substituir por diretamente dentro do logaritmo ao calcular o limite.
Passo 3
Aplicando a propriedade da continuidade: se
é contínua em
, então
Como
(aqui interpretada como
) é contínua em
, temos
Passo 4
Agora simplificamos
. Usamos a propriedade de logaritmos que diz
. Observando que
, obtemos
Se
for o logaritmo natural, escrevemos
. Para ficar mais concreto, uma aproximação numérica é
, logo