Determine o valor de K para que a função seja contínua no ponto indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{x^{3}-1}, \text { se } x \neq 1 \\\ K, \text { se } x=1\end{array}\right. no ponto x=1.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o valor de K\) para que a função \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-1}{x^{3}-1}, & \text{se } x\neq 1,\\[6pt] K, & \text{se } x=1 \end{cases}
seja contínua no ponto x=1\]. As informações relevantes dadas são: - A expressão de \(f(x) para x\neq 1 é \displaystyle \frac{x-1}{x^{3}-1}.
- O valor de f em x=1 é K (número a ser determinado).
- A condição necessária para continuidade em x=1 é que o valor da função em 1 seja igual ao limite de f(x) quando x tende para 1.]

Passo 2

Vou usar a definição prática de continuidade em um ponto: uma função f é contínua em x=1 se e somente se
\lim_{x\to 1} f(x) = f(1).
Aqui f(1)=K. Portanto, para que f seja contínua em 1 precisamos que
\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{x^{3}-1} = K.
Meu objetivo prático é calcular \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{x^{3}-1} e igualar o resultado a K.

Passo 3

Para calcular o limite, observo que, ao substituir x=1 diretamente na fração, obtenho uma forma indeterminada \frac{0}{0}. Nesses casos costumamos fatorar polinômios para simplificar. Uso a fatoração conhecida da diferença de cubos:
x^{3}-1 = (x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).
Essa fatoração é exata: multiplicando (x-1)(x^{2}+x+1) obtemos x^{3}-1.

Passo 4

Substituindo a fatoração no numerador/denominador, para x\neq 1 temos
\frac{x-1}{x^{3}-1} = \frac{x-1}{(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}.
Como x\neq 1 (região onde a expressão original vale), posso cancelar o fator comum x-1, ficando
\frac{x-1}{x^{3}-1} = \frac{1}{x^{2}+x+1}\qquad\text{(para }x\neq 1\text{)}.
Agora essa função simplificada é contínua em x=1, então o limite quando x\to 1 é simplesmente o valor obtido ao substituir x=1 na expressão simplificada:
\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{3}-1} = \lim_{x\to 1}\frac{1}{x^{2}+x+1} = \frac{1}{1^{2}+1+1} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Para que f seja contínua em x=1 é necessário e suficiente que K seja igual a esse limite. Portanto K deve ser \dfrac{1}{3}. (Interpretação: originalmente havia uma descontinuidade removível em x=1; escolher K=\dfrac{1}{3} “preenche” o buraco.)

Resposta

K=\dfrac{1}{3}

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