Determine o valor de
para que a função seja contínua no ponto indicado:
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o valor de
seja contínua no ponto
para
é
.
- O valor de em
é
(número a ser determinado).
- A condição necessária para continuidade em é que o valor da função em
seja igual ao limite de
quando
tende para
.]
- O valor de
- A condição necessária para continuidade em
Passo 2
Vou usar a definição prática de continuidade em um ponto: uma função
é contínua em
se e somente se
Aqui
. Portanto, para que
seja contínua em
precisamos que
Meu objetivo prático é calcular
e igualar o resultado a
.
Passo 3
Para calcular o limite, observo que, ao substituir
diretamente na fração, obtenho uma forma indeterminada
. Nesses casos costumamos fatorar polinômios para simplificar. Uso a fatoração conhecida da diferença de cubos:
Essa fatoração é exata: multiplicando
obtemos
.
Passo 4
Substituindo a fatoração no numerador/denominador, para
temos
Como
(região onde a expressão original vale), posso cancelar o fator comum
, ficando
Agora essa função simplificada é contínua em
, então o limite quando
é simplesmente o valor obtido ao substituir
na expressão simplificada:
Passo 5
Para que
seja contínua em
é necessário e suficiente que
seja igual a esse limite. Portanto
deve ser
. (Interpretação: originalmente havia uma descontinuidade removível em
; escolher
“preenche” o buraco.)