Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x^{3}}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x^{3}}{x-1}.
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
  • A função considerada é x\mapsto \dfrac{\ln x^{3}}{x-1}.
  • O ponto em que o limite é pedido é x=1.
  • Note que \ln x^{3} só está definida para x>0, então estamos trabalhando numa vizinhança de x=1 com x>0.
  • Avaliando diretamente em x=1 obtemos \ln 1^{3}=\ln 1=0 e 1-1=0, ou seja, a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. (Isso apenas identifica a forma; a resolução começa no próximo passo.)

Passo 2

Estratégia inicial (fórmula útil e simplificação algébrica):
  • Usar a propriedade dos logaritmos \ln a^{b}=b\ln a. Esta propriedade vem da definição de logaritmo: elevar uma base ao logaritmo dá de volta o argumento, e a potência sai como fator.
  • Aplicando aqui temos
\ln x^{3}=3\ln x.
  • Substituindo na expressão do limite obtemos, por linearidade da multiplicação,
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x^{3}}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{3\ln x}{x-1} = 3\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{x-1}.
Agora o problema ficou reduzido a calcular \lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\ln x}{x-1}.

Passo 3

Interpretação do limite \lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\ln x}{x-1} via definição de derivada (aula rápida):
  • Recorde a definição de derivada de uma função f em um ponto a:
f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
desde que o limite exista. Ou seja, a expressão \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} é exatamente a razão incremental que define a derivada.
  • No nosso caso, tome f(x)=\ln x e a=1. Então f(a)=\ln 1=0 e a fração fica exatamente
\frac{\ln x}{x-1}=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
  • Portanto
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{x-1}=f'(1),
ou seja, o limite é igual à derivada de \ln x em x=1.

Passo 4

Calcular a derivada de \ln x em x=1 (explicação curta de por que (\ln x)'=1/x):
  • Uma maneira simples de obter a derivada é usar que \ln x é a função inversa de e^{x}. Se y=\ln x então x=e^{y}. Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x) obtém-se
1=\frac{d}{dx}(e^{y})=e^{y}\frac{dy}{dx}=x\frac{dy}{dx},
logo \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}. Assim, (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
  • Avaliando em x=1
f'(1)=\frac{1}{1}=1.
  • Assim
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{x-1}=1.

Passo 5

Conclusão final do limite original:
  • Voltando à relação obtida no Passo 2,
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x^{3}}{x-1} =3\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{x-1} =3\cdot 1 = 3.

Resposta

3

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