Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
- A função considerada é
. - O ponto em que o limite é pedido é
. - Note que
só está definida para , então estamos trabalhando numa vizinhança de com . - Avaliando diretamente em
obtemos e , ou seja, a substituição direta dá a forma indeterminada . (Isso apenas identifica a forma; a resolução começa no próximo passo.)
Passo 2
Estratégia inicial (fórmula útil e simplificação algébrica):
- Usar a propriedade dos logaritmos
. Esta propriedade vem da definição de logaritmo: elevar uma base ao logaritmo dá de volta o argumento, e a potência sai como fator. - Aplicando aqui temos
- Substituindo na expressão do limite obtemos, por linearidade da multiplicação,
Agora o problema ficou reduzido a calcular
.
Passo 3
Interpretação do limite
via definição de derivada (aula rápida):
- Recorde a definição de derivada de uma função
em um ponto :
desde que o limite exista. Ou seja, a expressão
é exatamente a razão incremental que define a derivada.
- No nosso caso, tome
e . Então e a fração fica exatamente
- Portanto
ou seja, o limite é igual à derivada de
em
.
Passo 4
Calcular a derivada de
em
(explicação curta de por que
):
- Uma maneira simples de obter a derivada é usar que
é a função inversa de . Se então . Diferenciando ambos os lados em relação a (tratando como função de ) obtém-se
logo
. Assim,
.
- Avaliando em
dá
- Assim
Passo 5
Conclusão final do limite original:
- Voltando à relação obtida no Passo 2,