Calcule os limites abaixo:
(Fazer
)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Foi sugerido fazer a substituição
. Vou listar as informações óbvias que isso dá:
- A substituição é
, ou seja, é uma variável que tende a quando . - Quando
vale (pois e ). - O que se quer é o valor numérico do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Faço a substituição pedida:
. Assim a expressão fica
com
quando
. Note que
ainda depende de
, mas sabemos que
e, por continuidade de
,
quando
.
Passo 3
Para lidar com a forma
de maneira rigorosa, tomo o logaritmo natural. Defina
Como para
perto de
a base
é positiva, podemos tomar logaritmo e obter
Explicar por que:
é contínua e a expressão dentro tende a um número positivo, então trocar limite e
aqui é permitido ao considerar
.
Passo 4
Agora avalio o limite do produto que aparece:
- Primeiro,
, porque é contínua e . - Segundo,
, pela continuidade de em e de .
Pelo teorema do limite do produto, o limite do produto é o produto dos limites (um dos fatores tende a
e o outro tende a
, que é um número finito). Logo
Passo 5
Voltando do logaritmo, temos
Portanto o limite pedido vale
.