Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+\operatorname{sen} x)^{\cos \operatorname{sec} x} (Fazer \operatorname{sen} \mathrm{x}=\mathrm{u} )

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}(1+\operatorname{sen}x)^{\cos\operatorname{sec} x}.
Foi sugerido fazer a substituição \operatorname{sen}x=u. Vou listar as informações óbvias que isso dá:
  • A substituição é \sin x = u, ou seja, u é uma variável que tende a 0 quando x\to 0.
  • Quando x\to 0 vale \operatorname{sec} x \to 1 (pois \operatorname{sec} x = 1/\cos x e \cos 0=1).
  • O que se quer é o valor numérico do limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Faço a substituição pedida: \sin x = u. Assim a expressão fica
(1+\sin x)^{\cos(\operatorname{sec} x)}=(1+u)^{\cos(\operatorname{sec} x)},
com u\to 0 quando x\to 0. Note que \cos(\operatorname{sec} x) ainda depende de x, mas sabemos que \operatorname{sec} x\to 1 e, por continuidade de \cos, \cos(\operatorname{sec} x)\to \cos(1) quando x\to 0.

Passo 3

Para lidar com a forma 1^{\text{constante}} de maneira rigorosa, tomo o logaritmo natural. Defina
L=\lim_{x\to 0}(1+\sin x)^{\cos(\operatorname{sec} x)}.
Como para x perto de 0 a base 1+\sin x é positiva, podemos tomar logaritmo e obter
\ln L=\lim_{x\to 0}\cos(\operatorname{sec} x)\cdot\ln\bigl(1+\sin x\bigr).
Explicar por que: \ln é contínua e a expressão dentro tende a um número positivo, então trocar limite e \ln aqui é permitido ao considerar \ln L.

Passo 4

Agora avalio o limite do produto que aparece:
  • Primeiro, \lim_{x\to 0}\ln\bigl(1+\sin x\bigr)=\ln(1+0)=0, porque \ln é contínua e \sin x\to 0.
  • Segundo, \lim_{x\to 0}\cos(\operatorname{sec} x)=\cos\bigl(\lim_{x\to 0}\operatorname{sec} x\bigr)=\cos(1), pela continuidade de \operatorname{sec} em 0 e de \cos.
Pelo teorema do limite do produto, o limite do produto é o produto dos limites (um dos fatores tende a 0 e o outro tende a \cos(1), que é um número finito). Logo
\ln L=\cos(1)\cdot 0=0.

Passo 5

Voltando do logaritmo, temos
L=e^{\ln L}=e^{0}=1.
Portanto o limite pedido vale 1.

Resposta

1

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