Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3-x, & x<2 \\\ \frac{x}{2}, & x>2\end{array}\right..
a) Determine \lim _{x \rightarrow-2^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow-2^{-}} f(x)
b) Existe \lim _{x \rightarrow-2} f(x) ? Se existe, qual é? Se não, por quê?
c) Determine \lim _{x \rightarrow-4^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow-4^{-}} f(x).
d) Existe \lim _{x \rightarrow-4} f(x) ? Se existe, qual é? Se não, por quê?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e pede.
O enunciado pede:
(a) calcular \displaystyle \lim_{x\to -2^{+}} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to -2^{-}} f(x);
(b) dizer se \displaystyle \lim_{x\to -2} f(x) existe e, se existir, qual é;
(c) calcular \displaystyle \lim_{x\to -4^{+}} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to -4^{-}} f(x);
(d) dizer se \displaystyle \lim_{x\to -4} f(x) existe e, se existir, qual é.]
Passo 2
Conceito rápido e prático de limite lateral (em linguagem amiga):
\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega a a por valores menores que a (pela esquerda).
\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega a a por valores maiores que a (pela direita).
Se, para um ponto a, ambas as limitações laterais existem e são iguais, então a limite \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe e vale esse valor comum.
Também é útil lembrar: se numa vizinhança de a (isto é, para x suficientemente próximos de a, exceto possivelmente em a mesmo) a função é dada por uma expressão algébrica contínua (como 3-x ou x/2), então o limite ao aproximar-se de a é obtido simplesmente substituindo x=a nessa expressão.
Passo 3
Observação sobre as peças da função e os pontos pedidos:
Os pontos -2 e -4 satisfazem -2<2 e -4<2. Ou seja, ambos estão no ramo onde a função vale \,3-x.
Para garantir que, ao aproximar x de -2 (ou de -4), tanto a aproximação pela esquerda quanto pela direita permaneça no mesmo ramo (x<2), basta escolher uma vizinhança suficientemente pequena de a. Formalmente:
Distância de -2 até 2 é 4. Então, se escolhermos 0<\delta<4, qualquer x com |x-(-2)|<\delta satisfaz x<2. Logo, perto de -2 (tanto pela esquerda quanto pela direita) a expressão usada é 3-x.
Distância de -4 até 2 é 6. Então, se escolhermos 0<\delta<6, qualquer x com |x-(-4)|<\delta satisfaz x<2. Logo, perto de -4 (tanto pela esquerda quanto pela direita) a expressão usada é também 3-x.
Em palavras: nos pontos -2 e -4 as aproximações laterais acontecem dentro do ramo x<2, portanto para calcular as quatro limitações laterais basta usar a expressão \,3-x.
Passo 4
Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to -2^{+}} f(x).
Como notado, para x próximo de -2 (pela direita, mas ainda menor que 2) vale f(x)=3-x. A função 3-x é uma função linear (portanto contínua), então