Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3-x, & x<2 \\\ \frac{x}{2}, & x>2\end{array}\right..
a) Determine \lim _{x \rightarrow-2^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow-2^{-}} f(x)
b) Existe \lim _{x \rightarrow-2} f(x) ? Se existe, qual é? Se não, por quê?
c) Determine \lim _{x \rightarrow-4^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow-4^{-}} f(x).
d) Existe \lim _{x \rightarrow-4} f(x) ? Se existe, qual é? Se não, por quê?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e pede.
  • A função dada é
f(x)=\begin{cases} 3-x, & x<2,\\[4pt] \dfrac{x}{2}, & x>2. \end{cases}
  • O enunciado pede:
    (a) calcular \displaystyle \lim_{x\to -2^{+}} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to -2^{-}} f(x);
    (b) dizer se \displaystyle \lim_{x\to -2} f(x) existe e, se existir, qual é;
    (c) calcular \displaystyle \lim_{x\to -4^{+}} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to -4^{-}} f(x);
    (d) dizer se \displaystyle \lim_{x\to -4} f(x) existe e, se existir, qual é.]

Passo 2

Conceito rápido e prático de limite lateral (em linguagem amiga):
  • \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega a a por valores menores que a (pela esquerda).
  • \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega a a por valores maiores que a (pela direita).
    Se, para um ponto a, ambas as limitações laterais existem e são iguais, então a limite \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe e vale esse valor comum.
Também é útil lembrar: se numa vizinhança de a (isto é, para x suficientemente próximos de a, exceto possivelmente em a mesmo) a função é dada por uma expressão algébrica contínua (como 3-x ou x/2), então o limite ao aproximar-se de a é obtido simplesmente substituindo x=a nessa expressão.

Passo 3

Observação sobre as peças da função e os pontos pedidos:
  • Os pontos -2 e -4 satisfazem -2<2 e -4<2. Ou seja, ambos estão no ramo onde a função vale \,3-x.
  • Para garantir que, ao aproximar x de -2 (ou de -4), tanto a aproximação pela esquerda quanto pela direita permaneça no mesmo ramo (x<2), basta escolher uma vizinhança suficientemente pequena de a. Formalmente:
    • Distância de -2 até 2 é 4. Então, se escolhermos 0<\delta<4, qualquer x com |x-(-2)|<\delta satisfaz x<2. Logo, perto de -2 (tanto pela esquerda quanto pela direita) a expressão usada é 3-x.
    • Distância de -4 até 2 é 6. Então, se escolhermos 0<\delta<6, qualquer x com |x-(-4)|<\delta satisfaz x<2. Logo, perto de -4 (tanto pela esquerda quanto pela direita) a expressão usada é também 3-x.
Em palavras: nos pontos -2 e -4 as aproximações laterais acontecem dentro do ramo x<2, portanto para calcular as quatro limitações laterais basta usar a expressão \,3-x.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to -2^{+}} f(x).
Como notado, para x próximo de -2 (pela direita, mas ainda menor que 2) vale f(x)=3-x. A função 3-x é uma função linear (portanto contínua), então
\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=\lim_{x\to -2^{+}} (3-x)=3-(-2)=3+2=5.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to -2^{-}} f(x).
Pela mesma razão: para x próximo de -2 pela esquerda também vale f(x)=3-x. Então
\lim_{x\to -2^{-}} f(x)=\lim_{x\to -2^{-}} (3-x)=3-(-2)=5.

Passo 6

Conclusão sobre \displaystyle \lim_{x\to -2} f(x).
As duas limitações laterais coincidem:
\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=5\quad\text{e}\quad \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=5,
portanto a limite bilateral existe e vale 5:
\lim_{x\to -2} f(x)=5.

Passo 7

Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to -4^{+}} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to -4^{-}} f(x).
Perto de -4 (tanto pela direita quanto pela esquerda) vale f(x)=3-x. Logo, pelo mesmo método de substituição:
\lim_{x\to -4^{+}} f(x)=\lim_{x\to -4^{+}} (3-x)=3-(-4)=3+4=7,
\lim_{x\to -4^{-}} f(x)=\lim_{x\to -4^{-}} (3-x)=3-(-4)=7.

Passo 8

Conclusão sobre \displaystyle \lim_{x\to -4} f(x).
Como as duas limitações laterais em -4 são iguais e valem 7, a limite bilateral existe e
\lim_{x\to -4} f(x)=7.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to -2^{+}} f(x)=5 \displaystyle e \displaystyle \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=5
(b) Sim. \displaystyle \lim_{x\to -2} f(x)=5
(c) \displaystyle \lim_{x\to -4^{+}} f(x)=7 \displaystyle e \displaystyle \lim_{x\to -4^{-}} f(x)=7
(d) Sim. \displaystyle \lim_{x\to -4} f(x)=7

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