Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função no numerador é
(seno de ). - O ponto de interesse é
.
O que se deve calcular: o valor numérico do limite acima.
Passo 2
Teste por substituição direta para identificar o tipo de indeterminação.
Calcule o numerador e o denominador em :
Calcule o numerador e o denominador em
Portanto o quociente tende para a forma
, que é uma indeterminação. Isso indica que precisamos de uma técnica para avaliar o limite (por exemplo: definição de derivada, regra de L’Hôpital, ou aproximação linear).
Passo 3
Apresento a ideia da definição de derivada, que é muito útil aqui.
Se é uma função e
um ponto, a derivada de
em
é definida por
Se
desde que esse limite exista. Nesta expressão:
-
é a função que estamos derivando; -
é o ponto onde avaliamos a derivada; -
é o coeficiente que aproxima a variação de perto de .
Note que o nosso limite tem exatamente a forma
com
e
. Assim o limite pedido é igual à derivada de
em
, se a derivada existir.
Passo 4
Calcule a derivada de
.
A derivada conhecida é
A derivada conhecida é
Isso significa que, para qualquer
em que a derivada exista,
Aplicando com
obtemos
E sabemos que
Passo 5
Como alternativa (útil para a prova), aplicamos a regra de L’Hôpital e verificamos que dá o mesmo resultado. A regra diz: se
é uma forma
e
são diferenciáveis com
perto de
, então
se o limite à direita existir. No nosso caso
e
. Então
e
Portanto a regra de L’Hôpital confirma o resultado da derivada.
Passo 6
Intuição rápida (apenas para fixar): perto de
a função
pode ser aproximada por sua aproximação linear
Tomando
e
, isso dá
, mostrando que a variação do numerador é muito mais pequena (de ordem superior) e que o quociente tende a zero — consistente com os cálculos.