Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen} x-1}{x-\frac{\pi}{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}x-1}{x-\frac{\pi}{2}}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é \operatorname{sen}x (seno de x).
  • O ponto de interesse é x=\dfrac{\pi}{2}.
    O que se deve calcular: o valor numérico do limite acima.

Passo 2

Teste por substituição direta para identificar o tipo de indeterminação.
Calcule o numerador e o denominador em x=\dfrac{\pi}{2}:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \qquad \text{e}\qquad \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0.
Portanto o quociente tende para a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso indica que precisamos de uma técnica para avaliar o limite (por exemplo: definição de derivada, regra de L’Hôpital, ou aproximação linear).

Passo 3

Apresento a ideia da definição de derivada, que é muito útil aqui.
Se f é uma função e a um ponto, a derivada de f em a é definida por
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
desde que esse limite exista. Nesta expressão:
  • f é a função que estamos derivando;
  • a é o ponto onde avaliamos a derivada;
  • f'(a) é o coeficiente que aproxima a variação de f perto de a.
Note que o nosso limite tem exatamente a forma \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} com f(x)=\operatorname{sen}x e a=\dfrac{\pi}{2}. Assim o limite pedido é igual à derivada de \operatorname{sen}x em x=\dfrac{\pi}{2}, se a derivada existir.

Passo 4

Calcule a derivada de \operatorname{sen}x.
A derivada conhecida é
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)=\cos x.
Isso significa que, para qualquer a em que a derivada exista,
\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}a}{x-a}=\cos a.
Aplicando com a=\dfrac{\pi}{2} obtemos
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\operatorname{sen}x-1}{x-\frac{\pi}{2}}=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
E sabemos que
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 5

Como alternativa (útil para a prova), aplicamos a regra de L’Hôpital e verificamos que dá o mesmo resultado. A regra diz: se \lim_{x\to a} \dfrac{g(x)}{h(x)} é uma forma 0/0 e g,h são diferenciáveis com h'(x)\neq0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to a}\frac{g'(x)}{h'(x)}
se o limite à direita existir. No nosso caso g(x)=\operatorname{sen}x-1 e h(x)=x-\dfrac{\pi}{2}. Então
g'(x)=\cos x,\qquad h'(x)=1,
e
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\operatorname{sen}x-1}{x-\frac{\pi}{2}} =\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1}=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Portanto a regra de L’Hôpital confirma o resultado da derivada.

Passo 6

Intuição rápida (apenas para fixar): perto de a a função \operatorname{sen}x pode ser aproximada por sua aproximação linear
\operatorname{sen}(a+h)\approx \operatorname{sen}a + h\cos a.
Tomando a=\dfrac{\pi}{2} e h=x-\dfrac{\pi}{2}, isso dá \operatorname{sen}x-1\approx h\cdot\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=h\cdot 0=0, mostrando que a variação do numerador é muito mais pequena (de ordem superior) e que o quociente tende a zero — consistente com os cálculos.

Resposta

0

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