Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular o limite unilaterial
Informações relevantes dadas:
- A função considerada é
, definida para . - O limite é unilateral pela esquerda:
significa que se aproxima de por valores negativos (ou seja, e tende a ).
Passo 2
Simplificação algébrica da expressão para
. Como
, podemos cancelar um fator
(desde que
):
Portanto o limite pedido é igual a
Passo 3
Interpretação do comportamento de
quando
se aproxima de
pela esquerda. Se
é negativo e tende a
, então
fica pequeno (próximo de
) e
fica muito grande. Como
é negativo,
será um número negativo com módulo crescente. Logo a expressão tende para menos infinito.
Exemplo numérico para intuir: escolha a sequência
com
. Então
quando
, e
Como
quando
, isso mostra concretamente que ao aproximar
de
pela esquerda,
vai para
.
Passo 4
Raciocínio formal com desigualdade (definição de divergir para
). Para qualquer
dado, escolha
. Se
então
e, como
,
Portanto, para todo
existe
tal que
implica
. Isto é exatamente a definição de
.
Passo 5
Conclusão e interpretação final amistosa: ao aproximar
de
por valores negativos, a expressão
se comporta como
e cresce em módulo no sentido negativo. Em linguagem de provas: o limite não é um número finito; a função diverge para
.