Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular o limite unilaterial
\lim_{x\to 0^-}\frac{x}{x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{x}{x^{2}}, definida para x\neq 0.
  • O limite é unilateral pela esquerda: x\to 0^- significa que x se aproxima de 0 por valores negativos (ou seja, x<0 e x tende a 0).

Passo 2

Simplificação algébrica da expressão para x\neq 0. Como x^{2}=x\cdot x, podemos cancelar um fator x (desde que x\neq0):
\frac{x}{x^{2}}=\frac{x}{x\cdot x}=\frac{1}{x},\quad \text{para }x\neq 0.
Portanto o limite pedido é igual a
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}.

Passo 3

Interpretação do comportamento de \dfrac{1}{x} quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Se x é negativo e tende a 0, então |x| fica pequeno (próximo de 0) e 1/|x| fica muito grande. Como x é negativo, \dfrac{1}{x} será um número negativo com módulo crescente. Logo a expressão tende para menos infinito.
Exemplo numérico para intuir: escolha a sequência x_n=-\dfrac{1}{n} com n\in\mathbb{N}. Então x_n\to 0^- quando n\to\infty, e
\frac{1}{x_n}=\frac{1}{-1/n}=-n.
Como -n\to -\infty quando n\to\infty, isso mostra concretamente que ao aproximar x de 0 pela esquerda, \dfrac{1}{x} vai para -\infty.

Passo 4

Raciocínio formal com desigualdade (definição de divergir para -\infty). Para qualquer N<0 dado, escolha \delta=\dfrac{1}{-N}>0. Se 0>x>-\delta então |x|<\dfrac{1}{-N} e, como x<0,
\frac{1}{x} < -(-N) = N.
Portanto, para todo N<0 existe \delta>0 tal que 0>x>-\delta implica \dfrac{1}{x}<N. Isto é exatamente a definição de \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty.

Passo 5

Conclusão e interpretação final amistosa: ao aproximar x de 0 por valores negativos, a expressão \dfrac{x}{x^{2}} se comporta como \dfrac{1}{x} e cresce em módulo no sentido negativo. Em linguagem de provas: o limite não é um número finito; a função diverge para -\infty.

Resposta

-\infty

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