- Sobre o limite trigonométrico fundamental:
(a) Explique por que não podemos calcular diretamente
usando as propriedades de limites.
(b) Usando interpretação geométrica, explique como o teorema do confronto pode ser usado para provar que
.
(Dica: Para
, compare as áreas do triângulo, setor circular e triângulo maior no círculo unitário )
(a) Explique por que não podemos calcular diretamente
(b) Usando interpretação geométrica, explique como o teorema do confronto pode ser usado para provar que
(Dica: Para
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) explicar por que não podemos calcular diretamente usando apenas as propriedades usuais de limites;
(b) provar, por interpretação geométrica e usando o teorema do confronto, que .
Informações úteis dadas (peguei a dica do enunciado):
(a) explicar por que não podemos calcular diretamente
(b) provar, por interpretação geométrica e usando o teorema do confronto, que
Informações úteis dadas (peguei a dica do enunciado):
- Devo trabalhar no círculo de raio
(círculo unitário). - Para
devo comparar as áreas de: um triângulo pequeno, o setor circular de ângulo e um triângulo maior ligado à tangente.
Passo 2
Por que não podemos calcular direto com propriedades de limites (resposta à parte (a)). Vou explicar devagar e com calma.
As regras de limites dizem, por exemplo, que se e
com
, então
As regras de limites dizem, por exemplo, que se
No nosso caso temos
e
. Logo o quociente tem a forma
, que se chama forma indeterminada. A razão pela qual isso é problemático: a propriedade do quociente exige que o limite do denominador seja diferente de zero; se o denominador tende a zero, dividir por ele é proibido pelas regras — podemos ter resultados diferentes dependendo de como numerador e denominador se aproximam de zero. Por exemplo, sequências diferentes que tendem a zero podem produzir razões com limites distintos. Portanto não dá para usar a propriedade do quociente direto: precisamos de outro argumento (por exemplo geometricamente) para descobrir o valor do limite.
Passo 3
Preparação geométrica (início da prova da parte (b)). Vamos ao círculo unitário centrado na origem
. Considere o ponto
e o ponto
no círculo, com
. O arco
subtende o ângulo
em
(ângulo em radianos). Vou calcular as áreas das três regiões sugeridas:
- Triângulo
(o pequeno, dentro do setor); - Setor circular
(com raio e ângulo ); - Triângulo formado pela tangente no ponto
e pela reta (o triângulo maior, fora do setor).
Passo 4
Área do triângulo pequeno
. Em todo triângulo com dois lados de comprimento
que fazem ângulo
entre si, a área é
Portanto a área do triângulo interno é
.
Passo 5
Área do setor circular
. A fórmula da área de um setor de círculo de raio
e ângulo
(em radianos) é
Aqui
e
, logo a área do setor é
.
Passo 6
Área do triângulo maior (ligado à tangente). A reta tangente ao círculo no ponto
é a reta vertical
. Essa reta intercepta a reta que passa por
e
em um ponto superior; o triângulo formado por essa interseção, por
e por
tem altura igual a
(porque a ordenada do ponto de interseção é
). A base do triângulo é
. Assim a área desse triângulo maior é
Passo 7
Comparando as três áreas (argumento geométrico). Visualmente e por construção o triângulo pequeno está contido no setor, que por sua vez está contido no triângulo maior. Portanto, para
,
Multiplicando tudo por
(positivo) obtemos a desigualdade clássica
Passo 8
Transformando a desigualdade para isolar
. Como
temos
e
, posso manipular as desigualdades sem inverter sinais. Primeiro, da segunda desigualdade
e usando
temos
Dividindo agora por
(positivo) resulta
Da primeira desigualdade
tiramos imediatamente
Juntando as duas, para
obtemos a cadeia
Passo 9
Aplicando o teorema do confronto (squeeze theorem). O teorema do confronto diz que se
numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
, então
. Aqui, para
temos
e
Pelo teorema do confronto segue que
Passo 10
Extensão para limite bilateral (x→0, ambos os lados). Note que a função
é uma função par (isto é,
) porque
. Assim o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Como já mostramos o limite à direita é
, concluímos que
Passo 11
Resumo didático rápido (para você lembrar na prova).
- Não se pode usar a propriedade do quociente diretamente porque obtemos a forma indeterminada
. - A prova geométrica usa áreas no círculo unitário para obter
. - Reescrevendo e aplicando o teorema do confronto chegamos a
e então ao limite .
Se quiser, na prova você pode mencionar também que existem outras justificativas (série de Taylor ou regra de L’Hôpital), mas a prova geométrica é a clássica e não usa cálculo avançado.
Resposta
(a) Não é possível porque a substituição direta dá a forma indeterminada
; as propriedades do quociente exigem que o limite do denominador seja diferente de zero.
(b)
(b)