Determinação de constantes: Para cada função abaixo, determine o valor da constante para que o limite exista.
g(x)= \begin{cases}x+3, & \text { se } x<1 \\\ a x^{2}, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
Determine a para que \lim _{x \rightarrow 1} g(x) exista.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
g(x)= \begin{cases} x+3, & \text{se } x<1,\\[4pt] a x^{2}, & \text{se } x\ge 1, \end{cases}
e pede: determinar o(s) valor(es) de a para que \lim_{x\to 1} g(x) exista.]

Passo 2

O que significa “o limite \lim_{x\to 1} g(x) existe”? Vou explicar de maneira prática e direta:
  • A existência do limite em x=1 exige que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Ou seja, é preciso que
\lim_{x\to 1^-} g(x) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1^+} g(x)
exijam o mesmo número finito.
  • Aqui \lim_{x\to 1^-} g(x) é o valor que g(x) se aproxima quando x vem pela esquerda de 1, e \lim_{x\to 1^+} g(x) é o valor quando x vem pela direita de 1.
Essa é a condição que vamos usar: limites laterais iguais \Rightarrow limite bilateral existe.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda. Para x<1 a definição de g é g(x)=x+3. Essa é uma função linear (polinomial), e para funções polinomiais o limite quando x\to 1 é simplesmente o valor da expressão ao substituir x=1. Portanto
\lim_{x\to 1^-} g(x) = \lim_{x\to 1^-} (x+3) = 1+3 = 4.
Explicando por que isso é válido: funções do tipo x+3 são contínuas em todos os reais, então aproximar x de 1 (pela esquerda ou direita) leva o valor da função a 1+3.

Passo 4

Calcular o limite pela direita. Para x\ge 1 a definição de g é g(x)=a x^{2}. Novamente, x\mapsto a x^{2} é uma função polinomial (multiplicada por constante), contínua, então o limite ao aproximar x\to 1 pela direita é o valor da expressão em x=1. Logo
\lim_{x\to 1^+} g(x) = \lim_{x\to 1^+} (a x^{2}) = a\cdot 1^{2} = a.

Passo 5

Impor igualdade dos limites laterais (condição para existência do limite bilateral). Precisamos que
\lim_{x\to 1^-} g(x) = \lim_{x\to 1^+} g(x).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
4 = a.
Portanto o valor de a que torna o limite em x=1 existente é a=4.
Dica rápida para prova: quando a função é por partes, sempre calcule os limites unilaterais usando a expressão correspondente a cada lado e faça as duas expressões coincidirem.

Resposta

a=4

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