Determinação de constantes: Para cada função abaixo, determine o valor da constante para que o limite exista.
Determine
para que
exista.
Passo 1
O enunciado nos dá a função por partes
e pede: determinar o(s) valor(es) de
para que
exista.]
Passo 2
O que significa “o limite
existe”? Vou explicar de maneira prática e direta:
- A existência do limite em
exige que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Ou seja, é preciso que
exijam o mesmo número finito.
- Aqui
é o valor que se aproxima quando vem pela esquerda de , e é o valor quando vem pela direita de .
Essa é a condição que vamos usar: limites laterais iguais
limite bilateral existe.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda. Para
a definição de
é
. Essa é uma função linear (polinomial), e para funções polinomiais o limite quando
é simplesmente o valor da expressão ao substituir
. Portanto
Explicando por que isso é válido: funções do tipo
são contínuas em todos os reais, então aproximar
de
(pela esquerda ou direita) leva o valor da função a
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita. Para
a definição de
é
. Novamente,
é uma função polinomial (multiplicada por constante), contínua, então o limite ao aproximar
pela direita é o valor da expressão em
. Logo
Passo 5
Impor igualdade dos limites laterais (condição para existência do limite bilateral). Precisamos que
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Portanto o valor de
que torna o limite em
existente é
.
Dica rápida para prova: quando a função é por partes, sempre calcule os limites unilaterais usando a expressão correspondente a cada lado e faça as duas expressões coincidirem.