Seja f(x)=1-e^{x}+(e-1) \operatorname{sen}(\pi x / 2). Mostre que f^{\prime}(x) é igual a zero pelo menos uma vez em \left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1-e^{x}+(e-1)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)
e pede para mostrar que f^{\prime}(x)=0 pelo menos uma vez no intervalo \left[0,\frac{3\pi}{2}\right].
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x).
  • O intervalo onde devemos garantir a existência de uma raiz de f^{\prime}: \left[0,\frac{3\pi}{2}\right].

Passo 2

Vamos calcular f^{\prime}(x) passo a passo e explicar as regras usadas.
Regra 1: a derivada de e^{x} é e^{x}.
Regra 2: se g(x)=\operatorname{sen}(kx) com k constante, então g'(x)=k\cos(kx) (regra da cadeia).
Regra 3: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem multiplicando.
Aplicando essas regras:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)+(e-1)\frac{d}{dx}\!\left(\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right).
Como \frac{d}{dx}(1)=0 e \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}, e usando a regra da cadeia para o seno com k=\frac{\pi}{2}, obtemos
f'(x)=-e^{x}+(e-1)\cdot\frac{\pi}{2}\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right).

Passo 3

A seguir avaliamos f'(x) nas extremidades do intervalo para procurar sinais opostos (estratégia: usar o Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas).
Calcule em x=0:
f'(0)=-e^{0}+(e-1)\cdot\frac{\pi}{2}\cos(0)=-1+(e-1)\cdot\frac{\pi}{2}.
Agora uma estimativa numérica simples para ver o sinal: e\approx2{,}718\Rightarrow e-1\approx1{,}718 e \frac{\pi}{2}\approx1{,}571. Logo
(e-1)\cdot\frac{\pi}{2}\approx1{,}718\times1{,}571\approx2{,}701.
Portanto
f'(0)\approx-1+2{,}701\approx1{,}701>0.
Assim f'(0)>0.

Passo 4

Agora avaliaremos f' em x=\frac{3\pi}{2} e mostraremos que ali f' é negativo.
Escrevendo a expressão:
f'\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-e^{\frac{3\pi}{2}}+(e-1)\cdot\frac{\pi}{2}\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{3\pi}{2}\right).
Como \cos é limitado por -1\le\cos(\cdot)\le1, temos a desigualdade de teto
f'\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)\le -e^{\frac{3\pi}{2}}+(e-1)\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 1=-e^{\frac{3\pi}{2}}+(e-1)\cdot\frac{\pi}{2}.
Basta mostrar que a quantidade à direita é negativa. Note que \frac{3\pi}{2}\approx4{,}712>4, portanto
e^{\frac{3\pi}{2}}>e^{4}\approx54{,}598.
Já calculámos antes (e-1)\cdot\frac{\pi}{2}\approx2{,}701. Assim
-e^{\frac{3\pi}{2}}+(e-1)\cdot\frac{\pi}{2}< -54{,}598 + 2{,}701 \approx -51{,}897 <0.
Logo f'\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)<0.

Passo 5

Concluímos agora usando continuidade: a função f'(x) é contínua em \left[0,\frac{3\pi}{2}\right] porque é soma e composição de funções contínuas ( e^{x}, \cos e constantes). Observamos que
f'(0)>0\quad\text{e}\quad f'\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)<0.
Pelo Teorema do Valor Intermediário (ou Bolzano) para funções contínuas, se uma função contínua toma valores de sinais opostos em dois pontos do intervalo fechado, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Aplicando isso a f', existe c\in\left(0,\frac{3\pi}{2}\right) tal que
f'\text{(c)}=0.

Resposta

Existe c\in\left[0,\frac{3\pi}{2}\right] tal que f'\text{(c)}=0.

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