Seja
. Mostre que
é igual a zero pelo menos uma vez em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que
pelo menos uma vez no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
. - O intervalo onde devemos garantir a existência de uma raiz de
: .
Passo 2
Vamos calcular
passo a passo e explicar as regras usadas.
Regra 1: a derivada de
é
.
Regra 2: se com
constante, então
(regra da cadeia).
Regra 3: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem multiplicando.
Regra 2: se
Regra 3: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem multiplicando.
Aplicando essas regras:
Como
e
, e usando a regra da cadeia para o seno com
, obtemos
Passo 3
A seguir avaliamos
nas extremidades do intervalo para procurar sinais opostos (estratégia: usar o Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas).
Calcule em
:
Agora uma estimativa numérica simples para ver o sinal:
e
. Logo
Portanto
Assim
.
Passo 4
Agora avaliaremos
em
e mostraremos que ali
é negativo.
Escrevendo a expressão:
Como
é limitado por
, temos a desigualdade de teto
Basta mostrar que a quantidade à direita é negativa. Note que
, portanto
Já calculámos antes
. Assim
Logo
.
Passo 5
Concluímos agora usando continuidade: a função
é contínua em
porque é soma e composição de funções contínuas (
,
e constantes). Observamos que
Pelo Teorema do Valor Intermediário (ou Bolzano) para funções contínuas, se uma função contínua toma valores de sinais opostos em dois pontos do intervalo fechado, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Aplicando isso a
, existe
tal que
Resposta
Existe
tal que
.