Prove que a função
é diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado pede que se prove que a função
é diferenciável em
.
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a diferenciabilidade é
. - O domínio natural da função é
(ou seja, ), portanto é um ponto interior do domínio. - Objetivo explícito: mostrar que o limite que define a derivada em
existe e calcular o seu valor.
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (definição de derivada): a função
é diferenciável em
se existir o limite
Aqui
é o incremento em
; na prova vamos manipular a expressão da fração (quociente diferencial) e calcular o limite quando
. É importante notar que, por causa do domínio de
, ao tomar
devemos garantir
, mas isso é sempre possível ao aproximar
a
(basta tomar
), então o limite bilateral em
faz sentido.
Passo 3
Escrevemos o quociente diferencial e simplificamos a expressão:
Primeiro colocamos em uma única fração no numerador:
Agora aplicamos a técnica do conjugado (multiplicamos numerador e denominador por
) para eliminar a raiz no numerador:
O numerador simplifica para
, portanto
Cancelando
(válido para
, e o limite trata do comportamento quando
tende a
, portanto essa simplificação é legítima para a avaliação do limite) obtemos:
Passo 4
Tomamos agora o limite quando
. A função
é contínua em
, então podemos substituir diretamente:
Como o limite existe e é finito, concluímos que
é diferenciável em
e o valor da derivada é
.
Passo 5
Comentário didático curto (para saber como fazer algo parecido na prova): a estratégia foi usar a definição da derivada pelo limite do quociente incremental e, quando aparecer diferença envolvendo raiz, usar o conjugado para simplificar. Essa técnica evita indeterminações do tipo
. Para esta função, o mesmo cálculo para um ponto genérico
leva à fórmula geral (se for de interesse):
Mas para a pergunta dada já bastou o cálculo em
.