Prove que a função g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} é diferenciável em x=1.

Passo 1

O enunciado pede que se prove que a função g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} é diferenciável em x=1.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • O ponto onde queremos a diferenciabilidade é x=1.
  • O domínio natural da função é x>0 (ou seja, (0,\infty)), portanto x=1 é um ponto interior do domínio.
  • Objetivo explícito: mostrar que o limite que define a derivada em 1 existe e calcular o seu valor.

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (definição de derivada): a função g é diferenciável em x=1 se existir o limite
g'(1)=\lim_{h\to0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}.
Aqui h é o incremento em x; na prova vamos manipular a expressão da fração (quociente diferencial) e calcular o limite quando h\to0. É importante notar que, por causa do domínio de g, ao tomar h\to0 devemos garantir 1+h>0, mas isso é sempre possível ao aproximar h a 0 (basta tomar h>-1), então o limite bilateral em 0 faz sentido.

Passo 3

Escrevemos o quociente diferencial e simplificamos a expressão:
\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{1+h}}-1}{h}.
Primeiro colocamos em uma única fração no numerador:
\frac{\dfrac{1}{\sqrt{1+h}}-1}{h}=\frac{1-\sqrt{1+h}}{h\sqrt{1+h}}.
Agora aplicamos a técnica do conjugado (multiplicamos numerador e denominador por 1+\sqrt{1+h}) para eliminar a raiz no numerador:
\frac{1-\sqrt{1+h}}{h\sqrt{1+h}}\cdot\frac{1+\sqrt{1+h}}{1+\sqrt{1+h}} =\frac{1-(1+h)}{h\sqrt{1+h}\,\bigl(1+\sqrt{1+h}\bigr)}.
O numerador simplifica para 1-(1+h)=-h, portanto
\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\frac{-h}{h\sqrt{1+h}\,\bigl(1+\sqrt{1+h}\bigr)}.
Cancelando h (válido para h\neq0, e o limite trata do comportamento quando h tende a 0, portanto essa simplificação é legítima para a avaliação do limite) obtemos:
\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=-\frac{1}{\sqrt{1+h}\,\bigl(1+\sqrt{1+h}\bigr)}.

Passo 4

Tomamos agora o limite quando h\to0. A função \sqrt{1+h} é contínua em h=0, então podemos substituir diretamente:
g'(1)=\lim_{h\to0}\left(-\frac{1}{\sqrt{1+h}\,\bigl(1+\sqrt{1+h}\bigr)}\right) =-\frac{1}{\sqrt{1}\,(1+\sqrt{1})}=-\frac{1}{1\cdot 2}=-\frac{1}{2}.
Como o limite existe e é finito, concluímos que g é diferenciável em x=1 e o valor da derivada é -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Comentário didático curto (para saber como fazer algo parecido na prova): a estratégia foi usar a definição da derivada pelo limite do quociente incremental e, quando aparecer diferença envolvendo raiz, usar o conjugado para simplificar. Essa técnica evita indeterminações do tipo \tfrac{0}{0}. Para esta função, o mesmo cálculo para um ponto genérico a>0 leva à fórmula geral (se for de interesse):
g'(a)=-\frac{1}{2a^{3/2}}.
Mas para a pergunta dada já bastou o cálculo em a=1.

Resposta

g é diferenciável em x=1 e g'(1)=-\dfrac{1}{2}

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