Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{\sqrt{3+x^{2}}}{x-3} \quad R \rightarrow+\infty

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular
\lim_{x\to3^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x-3}.
Conteúdo envolvido: limite unilateral e reconhecimento de limite infinito.

Passo 2

Analisar o numerador. Como a função f(x)=\sqrt{x^{2}+3} é contínua em x=3, temos
\lim_{x\to3^{+}}\sqrt{x^{2}+3} =\sqrt{3^{2}+3} =\sqrt{12}.

Passo 3

Analisar o denominador. Para x\to3^{+}, a expressão x-3 é um valor positivo que tende a zero, isto é,
\lim_{x\to3^{+}}(x-3)=0^{+}.

Passo 4

Como o numerador tende a \sqrt{12}>0 e o denominador tende a 0^{+}, a fração cresce sem limite. Logo,
\lim_{x\to3^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x-3}=+\infty.

Resposta

+\infty

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