Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a x^{4}+b x^{2}+c}{d x^{5}+e x^{3}+f x}

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função racional quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{a x^{4}+b x^{2}+c}{d x^{5}+e x^{3}+f x}.
O conteúdo aqui é entender que, para x muito grande, domina o termo de maior grau em numerador e denominador, e podemos dividir tudo por essa potência de x.

Passo 2

Identificamos que o maior expoente no denominador é 5. Então dividimos numerador e denominador por x^{5}:
\frac{a x^{4}+b x^{2}+c}{d x^{5}+e x^{3}+f x} = \frac{\displaystyle\frac{a x^{4}}{x^{5}}+\frac{b x^{2}}{x^{5}}+\frac{c}{x^{5}}} {\displaystyle\frac{d x^{5}}{x^{5}}+\frac{e x^{3}}{x^{5}}+\frac{f x}{x^{5}}} = \frac{\displaystyle\frac{a}{x}+\frac{b}{x^{3}}+\frac{c}{x^{5}}} {\displaystyle d+\frac{e}{x^{2}}+\frac{f}{x^{4}}}.

Passo 3

Ao fazermos x\to+\infty, os termos \tfrac{a}{x}, \tfrac{b}{x^{3}}, \tfrac{c}{x^{5}}, \tfrac{e}{x^{2}} e \tfrac{f}{x^{4}} tendem a zero. Assim o numerador tende a 0 e o denominador tende a d.

Passo 4

Portanto o limite fica
\lim_{x\to+\infty}\frac{\tfrac{a}{x}+\tfrac{b}{x^{3}}+\tfrac{c}{x^{5}}} {d+\tfrac{e}{x^{2}}+\tfrac{f}{x^{4}}} = \frac{0}{d} =0.

Resposta

0

Exercícios relacionados