Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+4 x+1}{5 x^{2}+2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3}+4x+1}{5x^{2}+2x-3}.
O conteúdo aqui é limite de função racional (quociente de polinômios) no infinito. Para resolver, vamos comparar os graus dos polinômios ou dividir numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Como o grau do numerador é 3 e o do denominador é 2, podemos dividir todos os termos por x^2, a maior potência que aparece no denominador. Escrevemos
\frac{x^{3}+4x+1}{5x^{2}+2x-3} = \frac{x^{2}\bigl(x + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\bigl(5 + \tfrac{2}{x} - \tfrac{3}{x^{2}}\bigr)} = \frac{x + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}}{5 + \tfrac{2}{x} - \tfrac{3}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de cada termo quando x \to +\infty:
  • \tfrac{4}{x}\to 0 e \tfrac{1}{x^{2}}\to 0, logo o numerador x + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^{2}} tende a +\infty.
  • \tfrac{2}{x}\to 0 e \tfrac{3}{x^{2}}\to 0, logo o denominador 5 + \tfrac{2}{x} - \tfrac{3}{x^{2}} tende a 5, que é um número positivo.

Passo 4

Como o numerador cresce sem limite e o denominador se aproxima de 5>0, o quociente tende a +\infty.

Resposta

+\infty

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