Calcule os limites: \lim _{t \rightarrow-2} \frac{t^{3}-t^{2}-2 t+8}{t^{2}+6 t+8}
Passo 1
O enunciado pede o limite
\lim_{t\to-2}\frac{t^{3}-t^{2}-2t+8}{t^{2}+6t+8}.
Estamos trabalhando com limites de funções racionais que, ao substituir diretamente t=-2, geram forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar factorização de polinômios para simplificar a expressão.
\text{denominador em }t=-2: (-2)^{2}+6(-2)+8 =4 -12 +8 = 0.
Como obtemos 0/0, a forma é indeterminada e precisamos fatorar para cancelar o fator comum.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador t^{3}-t^{2}-2t+8 dividindo-o pelo fator t+2. Usando divisão sintética com t=-2:
Coeficientes: 1,\,-1,\,-2,\,8
Trazer 1 para baixo; multiplicar por -2 dá -2; somar com -1 dá -3; multiplicar por -2 dá 6; somar com -2 dá 4; multiplicar por -2 dá -8; somar com 8 dá 0.
O quociente é t^{2}-3t+4 e o resto é zero. Logo,
t^{3}-t^{2}-2t+8 = (t+2)\,(t^{2}-3t+4).
Passo 4
O denominador também se fatora facilmente:
t^{2}+6t+8 = (t+2)(t+4).
Substituindo na expressão original e cancelando o fator comum (t+2) (válido para t\neq -2), ficamos com