Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow-2} \frac{t^{3}-t^{2}-2 t+8}{t^{2}+6 t+8}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{t\to-2}\frac{t^{3}-t^{2}-2t+8}{t^{2}+6t+8}.
Estamos trabalhando com limites de funções racionais que, ao substituir diretamente t=-2, geram forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar factorização de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Aplicando substituição direta:
\text{numerador em }t=-2: (-2)^{3}-(-2)^{2}-2(-2)+8 = -8 -4 +4 +8 = 0,
\text{denominador em }t=-2: (-2)^{2}+6(-2)+8 =4 -12 +8 = 0.
Como obtemos 0/0, a forma é indeterminada e precisamos fatorar para cancelar o fator comum.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador t^{3}-t^{2}-2t+8 dividindo-o pelo fator t+2. Usando divisão sintética com t=-2:
Coeficientes: 1,\,-1,\,-2,\,8
Trazer 1 para baixo; multiplicar por -2 -2; somar com -1 -3; multiplicar por -2 6; somar com -2 4; multiplicar por -2 -8; somar com 8 0.
O quociente é t^{2}-3t+4 e o resto é zero. Logo,
t^{3}-t^{2}-2t+8 = (t+2)\,(t^{2}-3t+4).

Passo 4

O denominador também se fatora facilmente:
t^{2}+6t+8 = (t+2)(t+4).
Substituindo na expressão original e cancelando o fator comum (t+2) (válido para t\neq -2), ficamos com
\frac{t^{3}-t^{2}-2t+8}{t^{2}+6t+8} = \frac{(t+2)(t^{2}-3t+4)}{(t+2)(t+4)} = \frac{t^{2}-3t+4}{t+4}.

Passo 5

Agora que não há indeterminação, podemos substituir t=-2 na expressão simplificada:
t^{2}-3t+4\bigm|_{t=-2} = (-2)^{2}-3(-2)+4 = 4+6+4 = 14,
t+4\bigm|_{t=-2} = -2+4 = 2.
Portanto, o limite vale
\frac{14}{2} = 7.

Resposta

O valor do limite é 7.

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