Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional em
. - O ponto de interesse é
, onde o numerador e o denominador se anulam (pois e ).
O que se quer é determinar o comportamento da expressão quandose aproxima de — se tende a um número finito, a , a ou não existe.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão. Primeiro fatoramos o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
Substituindo na fração obtemos, para
,
Agora podemos simplificar um fator
do numerador com um dos três do denominador:
Passo 3
Explicar por que essa simplificação é permitida: ao fatorar e cancelar
estamos usando que a igualdade vale para
. Para o limite só precisamos da expressão para
próximos de
mas diferentes de
, então essa manipulação é válida para calcular o limite.
Portanto o problema reduz-se a calcular
Passo 4
Estudamos o comportamento da nova expressão quando
.
- O numerador
tende a quando , pois . - O denominador
é um quadrado, logo é sempre não negativo e para é estritamente positivo. Quando esse denominador tende a por valores positivos (ou seja, tende a ).
Assim estamos diante de uma fração cujo numerador tende a um número positivo finito () e cujo denominador tende a por valores positivos. Esse tipo de situação faz com que o quociente cresça sem limite para .
Um argumento alternativo, por clareza, é usar a substituição
. Então
quando
e
Quando
o numerador
e o denominador
, logo
.
Passo 5
Concluímos, com base na simplificação e na análise do sinal e do comportamento do denominador quadrático, que o limite diverge para
. É útil lembrar: sempre que uma fração tem numerador tendendo a um número positivo e denominador tendendo a
por valores positivos, o limite é
. Mantenha essa ideia na prova — fatorar e verificar o sinal do denominador (especialmente se for uma potência par) é frequentemente suficiente para decidir se o limite é
ou
.