Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{(x-1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{(x-1)^{3}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional em x.
  • O ponto de interesse é x=1, onde o numerador e o denominador se anulam (pois 1^{2}-1=0 e (1-1)^{3}=0).
    O que se quer é determinar o comportamento da expressão quando x se aproxima de 1 — se tende a um número finito, a +\infty, a -\infty ou não existe.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão. Primeiro fatoramos o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo na fração obtemos, para x\neq 1,
\frac{x^{2}-1}{(x-1)^{3}}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^{3}}.
Agora podemos simplificar um fator (x-1) do numerador com um dos três do denominador:
\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^{3}}=\frac{x+1}{(x-1)^{2}},\qquad x\neq 1.

Passo 3

Explicar por que essa simplificação é permitida: ao fatorar e cancelar (x-1) estamos usando que a igualdade vale para x\neq 1. Para o limite só precisamos da expressão para x próximos de 1 mas diferentes de 1, então essa manipulação é válida para calcular o limite.
Portanto o problema reduz-se a calcular
\lim_{x\to 1}\frac{x+1}{(x-1)^{2}}.

Passo 4

Estudamos o comportamento da nova expressão quando x\to 1.
  • O numerador (x+1) tende a 2 quando x\to 1, pois 1+1=2.
  • O denominador (x-1)^{2} é um quadrado, logo é sempre não negativo e para x\neq 1 é estritamente positivo. Quando x\to 1 esse denominador tende a 0 por valores positivos (ou seja, tende a 0^{+}).
    Assim estamos diante de uma fração cujo numerador tende a um número positivo finito ( 2) e cujo denominador tende a 0 por valores positivos. Esse tipo de situação faz com que o quociente cresça sem limite para +\infty.
Um argumento alternativo, por clareza, é usar a substituição h=x-1. Então h\to 0 quando x\to 1 e
\frac{x^{2}-1}{(x-1)^{3}}=\frac{(1+h)^{2}-1}{h^{3}}=\frac{2h+h^{2}}{h^{3}}=\frac{2+h}{h^{2}}.
Quando h\to 0 o numerador (2+h)\to 2>0 e o denominador h^{2}\to 0^{+}, logo \dfrac{2+h}{h^{2}}\to +\infty.

Passo 5

Concluímos, com base na simplificação e na análise do sinal e do comportamento do denominador quadrático, que o limite diverge para +\infty. É útil lembrar: sempre que uma fração tem numerador tendendo a um número positivo e denominador tendendo a 0 por valores positivos, o limite é +\infty. Mantenha essa ideia na prova — fatorar e verificar o sinal do denominador (especialmente se for uma potência par) é frequentemente suficiente para decidir se o limite é +\infty ou -\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados