Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite unidirecional:
Informações dadas:
- A variável
tende a pela esquerda (ou seja, e se aproxima de ). - A expressão a ser analisada é
.
Passo 2
Analisar o numerador
.\newline
A função é contínua, logo o limite do numerador ao aproximar
de
é o valor da função em
. Portanto
A função
Isto mostra que o numerador tende para um número positivo e finito,
.
Passo 3
Analisar o denominador
.\newline
Para qualquer tem-se
. Quando
(pela esquerda ou pela direita),
tende a
, sempre por valores positivos. Em símbolos:
Para qualquer
Ou seja, o denominador aproxima-se de zero, mas permanece positivo.
Passo 4
Combinar os comportamentos de numerador e denominador.\newline
Temos numerador e denominador
. Dividir um número positivo finito por um número que tende a zero pela direita produz valores que crescem sem limite positivo. Intuitivamente, se
fica cada vez menor (positivo), a razão
fica cada vez maior.
Temos numerador
Passo 5
Rigor (esboço): para qualquer
pode-se escolher
. Se
então
e, como para
próximo de
o numerador satisfaz
, segue
Isso demonstra que os valores da expressão ultrapassam arbitrariamente qualquer
, portanto o limite é
.
Passo 6
Observação final e reforço: como o denominador é um quadrado, o sinal da diferença
(vem da esquerda) não altera o sinal do denominador — ele é sempre positivo — por isso tanto a aproximação pela esquerda quanto pela direita (se considerada) levariam ao mesmo comportamento de divergência positiva. Um exemplo análogo e simples é
.