Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x+1}{(x-3)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite unidirecional:
\lim_{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x+1}{(x-3)^{2}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende a 3 pela esquerda (ou seja, x<3 e se aproxima de 3).
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{x+1}{(x-3)^{2}}.

Passo 2

Analisar o numerador \,x+1.\newline
A função x\mapsto x+1 é contínua, logo o limite do numerador ao aproximar x de 3 é o valor da função em 3. Portanto
\lim_{x\to3^-}(x+1)=3+1=4.
Isto mostra que o numerador tende para um número positivo e finito, \,4.

Passo 3

Analisar o denominador \,(x-3)^{2}.\newline
Para qualquer x\neq3 tem-se (x-3)^{2}>0. Quando x\to3 (pela esquerda ou pela direita), (x-3)^{2} tende a 0, sempre por valores positivos. Em símbolos:
\lim_{x\to3^-}(x-3)^{2}=0^{+}.
Ou seja, o denominador aproxima-se de zero, mas permanece positivo.

Passo 4

Combinar os comportamentos de numerador e denominador.\newline
Temos numerador \to 4>0 e denominador \to 0^{+}. Dividir um número positivo finito por um número que tende a zero pela direita produz valores que crescem sem limite positivo. Intuitivamente, se (x-3)^{2} fica cada vez menor (positivo), a razão \dfrac{4}{(x-3)^{2}} fica cada vez maior.

Passo 5

Rigor (esboço): para qualquer M>0 pode-se escolher \delta=\min\bigl(1,\sqrt{\dfrac{2}{M}}\bigr). Se 0<|x-3|<\delta então (x-3)^{2}<\dfrac{2}{M} e, como para x próximo de 3 o numerador satisfaz x+1>2, segue
\frac{x+1}{(x-3)^{2}}>\frac{2}{(x-3)^{2}}>M.
Isso demonstra que os valores da expressão ultrapassam arbitrariamente qualquer M>0, portanto o limite é +\infty.

Passo 6

Observação final e reforço: como o denominador é um quadrado, o sinal da diferença x-3 (vem da esquerda) não altera o sinal do denominador — ele é sempre positivo — por isso tanto a aproximação pela esquerda quanto pela direita (se considerada) levariam ao mesmo comportamento de divergência positiva. Um exemplo análogo e simples é \lim_{t\to0} \dfrac{1}{t^{2}}=+\infty.

Resposta

+\infty

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