QUESTÃO 10
Determine a soma da série geométrica
.
(a) 3
(b) 6
(c)
(d)
(a) 3
(b) 6
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a soma da série infinita
As alternativas fornecidas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
O que precisa ser encontrado é o valor numérico da soma (se convergir) da série acima.
Passo 2
Entendendo o tipo de série e a fórmula que vamos usar (aula rápida e direta).
Uma série geométrica infinita tem a forma
Uma série geométrica infinita tem a forma
onde
é o primeiro termo (quando a soma começa em
) e
é a razão. Para essa série, se
ela converge e a soma é
Explicando a fórmula (passo a passo): considere a soma parcial com
termos
Multiplicando por
e subtraindo, obtém-se
logo
Se
, então
quando
, e portanto a soma infinita vale
Passo 3
Explicando as variáveis e a condição de convergência de forma bem clara:
-
é o primeiro termo da série (quando indexada a partir de ). -
é a razão (o número que é multiplicado a cada passo). - A condição essencial para a soma infinita existir (convergir) é
. Nesse caso, porque multiplicando repetidamente um número com valor absoluto menor que faz o produto tender a zero (ex.: fica cada vez menor).
Passo 4
Aplicando ao nosso problema: primeiro fatoramos o
que é comum a cada termo:
Agora identifique a forma geométrica. A soma
é uma série geométrica com primeiro termo (quando o índice começa em
)
e razão
Observando
, a série converge e podemos usar a fórmula da soma.
Passo 5
Calcule a soma usando a fórmula
:
Multiplicando pelo fator
que havia sido colocado fora da soma:
Passo 6
Interpretação final e motivação rápida: intuitivamente cada termo é metade do anterior e os termos vão ficando muito pequenos, então a soma se “estabiliza” num número finito; multiplicando por
dá
. Vai dar tudo certo na prova — essa é uma das séries geométricas mais diretas que aparecem!
Resposta
(a) 3