QUESTÃO 10

Determine a soma da série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
(a) 3
(b) 6
(c) 3 / 2
(d) +\infty

Passo 1

O enunciado pede: determinar a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
As alternativas fornecidas são:
(a) 3
(b) 6
(c) \dfrac{3}{2}
(d) +\infty
O que precisa ser encontrado é o valor numérico da soma (se convergir) da série acima.

Passo 2

Entendendo o tipo de série e a fórmula que vamos usar (aula rápida e direta).
Uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}
onde a é o primeiro termo (quando a soma começa em n=0) e r é a razão. Para essa série, se |r|<1 ela converge e a soma é
\frac{a}{1-r}.
Explicando a fórmula (passo a passo): considere a soma parcial com N termos
S_N=a+ar+\cdots+ar^{N-1}.
Multiplicando por r e subtraindo, obtém-se
rS_N=ar+ar^2+\cdots+ar^{N},
S_N-rS_N=a-ar^{N},
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S_N=a\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e portanto a soma infinita vale
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{a}{1-r}.

Passo 3

Explicando as variáveis e a condição de convergência de forma bem clara:
  • a é o primeiro termo da série (quando indexada a partir de n=0).
  • r é a razão (o número que é multiplicado a cada passo).
  • A condição essencial para a soma infinita existir (convergir) é |r|<1. Nesse caso, r^{N}\to 0 porque multiplicando repetidamente um número com valor absoluto menor que 1 faz o produto tender a zero (ex.: (1/2)^N fica cada vez menor).

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: primeiro fatoramos o 3 que é comum a cada termo:
\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=3\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Agora identifique a forma geométrica. A soma \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} é uma série geométrica com primeiro termo (quando o índice começa em n=1)
a=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2}
e razão
r=\frac{1}{2}.
Observando |r|=\tfrac{1}{2}<1, a série converge e podemos usar a fórmula da soma.

Passo 5

Calcule a soma usando a fórmula \dfrac{a}{1-r}:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
Multiplicando pelo fator 3 que havia sido colocado fora da soma:
\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=3\cdot 1=3.

Passo 6

Interpretação final e motivação rápida: intuitivamente cada termo é metade do anterior e os termos vão ficando muito pequenos, então a soma se “estabiliza” num número finito; multiplicando por 3 3. Vai dar tudo certo na prova — essa é uma das séries geométricas mais diretas que aparecem!

Resposta

(a) 3

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