Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \frac{x^{3}+1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite de
\displaystyle \frac{x^{3}+1}{x+1}
quando x se aproxima de -1 pela direita. O conteúdo é cálculo de limites com forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar fatoração de soma de cubos e simplificação.

Passo 2

Reconhecemos que x^{3}+1 é uma soma de cubos, pois
x^{3}+1 = a^{3}+b^{3}
com a=x e b=1. A fatoração de uma soma de cubos é
a^{3}+b^{3}=(a+b)\,(a^{2}-ab+b^{2}).
Aplicando isso aqui, obtemos
x^{3}+1 = (x+1)\,(x^{2}-x+1).

Passo 3

Substituindo na expressão do limite:
\frac{x^{3}+1}{x+1} = \frac{(x+1)(x^{2}-x+1)}{x+1}.
Para x\neq -1 podemos cancelar x+1, ficando
\frac{x^{3}+1}{x+1}=x^{2}-x+1.

Passo 4

Como x^{2}-x+1 é um polinômio (função contínua), o limite quando x\to -1^{+} é dado pela substituição direta x=-1:
\lim_{x\to -1^{+}}(x^{2}-x+1) = (-1)^{2}-(-1)+1 =1+1+1 =3.

Resposta

3

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