Questão 2.(2,00 pontos) Seja f: X \rightarrow Y uma função. Prove que:
f^{-1}(f(A))=A qualquer que seja A \subset X se e somente se f injetiva.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função f\colon X\to Y e queremos mostrar que
f^{-1}\bigl(f(A)\bigr)=A\quad\text{para todo }A\subset X
se, e somente se, f é injetiva. Vamos usar conceitos de imagem, contra‐imagem e caracterização de injetividade.

Passo 2

Mostramos primeiro que para qualquer função f vale sempre
A\subset f^{-1}\bigl(f(A)\bigr).
De fato, se x\in A então f(x)\in f(A) por definição de imagem, logo x\in f^{-1}(f(A)). Isso prova a inclusão A\subset f^{-1}(f(A)).

Passo 3

Agora suponha que f seja injetiva e mostremos a inclusão inversa
f^{-1}\bigl(f(A)\bigr)\subset A.
Se x\in f^{-1}(f(A)) então f(x)\in f(A), isto é, existe a\in A tal que f(x)=f(a). Como f é injetiva, x=a, e portanto x\in A. Assim f^{-1}(f(A))\subset A. Concluímos que, sob injetividade, f^{-1}(f(A))=A.

Passo 4

Para a recíproca, assumimos que
f^{-1}\bigl(f(A)\bigr)=A
para todo A\subset X e mostramos que f deve ser injetiva. Suponha, por contradição, que f não seja injetiva. Então existem x_1\neq x_2 em X com f(x_1)=f(x_2). Tome A=\{x_1\}. Então
f(A)=\{f(x_1)\}
e
f^{-1}\bigl(f(A)\bigr)=\{\,x\in X\mid f(x)\in\{f(x_1)\}\}=\{x_1,x_2\}.
Isso contradiz f^{-1}(f(A))=A=\{x_1\}. Logo f precisa ser injetiva.

Resposta

Ficou provado que f^{-1}(f(A))=A para todo A\subset X se, e somente se, f é injetiva.

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