Questão 2.(2,00 pontos) Seja
uma função. Prove que:
qualquer que seja
se e somente se
injetiva.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma função
e queremos mostrar que
se, e somente se,
é injetiva. Vamos usar conceitos de imagem, contra‐imagem e caracterização de injetividade.
Passo 2
Mostramos primeiro que para qualquer função
vale sempre
De fato, se
então
por definição de imagem, logo
. Isso prova a inclusão
.
Passo 3
Agora suponha que
seja injetiva e mostremos a inclusão inversa
Se
então
, isto é, existe
tal que
. Como
é injetiva,
, e portanto
. Assim
. Concluímos que, sob injetividade,
.
Passo 4
Para a recíproca, assumimos que
para todo
e mostramos que
deve ser injetiva. Suponha, por contradição, que
não seja injetiva. Então existem
em
com
. Tome
. Então
e
Isso contradiz
. Logo
precisa ser injetiva.
Resposta
Ficou provado que
para todo
se, e somente se,
é injetiva.